В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 14$, $AC = BD = 50$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
Диагонали параллелограмма равны, значит этот параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
- 2
Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдём вторую сторону.$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2304} = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 7 и 15, боковая сторона, равная 12, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции равна произведению боковой стороны на синус угла между ней и основанием:$$h = 12\sin 150^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$
- 2
Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту:$$S = \frac{7+15}{2} \cdot 6 = 66$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 28$. Найдите длину катета $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ — противолежащий углу $A$, а $AB$ — гипотенуза. Применяем определение синуса.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $EAI$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В правильном девятиугольнике центральный угол, соответствующий одной стороне, равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
- 2
Дуга $EI$, не содержащая вершину $A$, проходит через вершины $F$, $G$, $H$ и состоит из четырёх равных дуг.$$4\cdot 40^\circ=160^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $CBH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол правильного восьмиугольника равен:$$\alpha=\frac{(8-2)\cdot180^\circ}{8}=135^\circ$$
- 2
В треугольнике $ABH$ стороны $AB$ и $AH$ равны, поэтому он равнобедренный. Его угол при вершине $A$ равен внутреннему углу восьмиугольника:$$\angle BAH=135^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 50$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому углы $AOC$ и $COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Отрезки $OA$ и $OC$ — радиусы окружности, поэтому треугольник $AOC$ равнобедренный. При угле $AOC = 60^\circ$ он является равносторонним.$$OA = AC = 50$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 33. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, так как $BK$ — высота. Используем косинус угла $60^\circ$.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $36$, $\tg \angle CAD = \dfrac{5}{12}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 36$.$$AD = 36$$
- 2
Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{5}{12}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 76^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ являются смежными.$$\angle CMB = 180^\circ - \angle CMA$$
- 2
Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $CAD$ равен $74^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу $ABC$:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot120^\circ=240^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot74^\circ=148^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $71^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA \perp AC$ и $OB \perp CB$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $ACOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 71^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 71^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{DB} = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 2 и 14, боковая сторона, равная 1, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 1 \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$$
- 2
Подставим основания и высоту в формулу площади трапеции.$$S = \frac{2+14}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC=\sqrt{13}$, $AC=4\sqrt{13}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине в сумме дают $180^\circ$.$$∠C=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
- 2
По теореме косинусов найдём квадрат стороны $AB$.$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos∠C$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 26$. Найдите длину диаметра окружности.
- 1
Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна радиусу окружности.$$AC = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 11$, $AC = 120$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{120}{2} = 60$$
- 2
Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 60^2 + 11^2 = 3600 + 121 = 3721$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $78^\circ$, угол $ABC$ равен $52^\circ$. Найдите величину угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Пусть угол $BAL=\angle LAC=x$. Тогда угол $BAC=2x$, поскольку $AL$ — биссектриса.$$\angle BAC=2x$$
- 2
Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$.$$2x+52^\circ+\angle ACB=180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 12$, $\cos A = 0{,}5$. Найдите высоту $CH$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Из условия:$$\cos A = \frac{AC}{AB} = 0{,}5,\quad AC = \frac{AB}{2}$$
- 2
По теореме Пифагора:$$AB^2 = AC^2 + BC^2 = \frac{AB^2}{4} + 12^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его периметр равен $24$. Найдите меньшую диагональ ромба.
- 1
В ромбе сумма двух равных противоположных углов равна $240^\circ$, поэтому каждый из них равен $120^\circ$. Тогда меньший угол ромба равен $60^\circ$.$$2\alpha=240^\circ,\quad \alpha=120^\circ,\quad \beta=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
- 2
Найдём сторону ромба по его периметру.$$a=\frac{24}{4}=6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $90$, $\tg \angle CAD = \dfrac{1}{15}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$, равного $BC$, к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{BC}{AD}$$
- 2
Используем данное значение тангенса и формулу площади прямоугольника.$$S = AD \cdot BC = 540$$