В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию $AC$, равна $11$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$∠ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 24, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба связана со стороной и острым углом соотношением $h = a\sin\alpha$.$$24 = a\sin 30^\circ = \frac{a}{2}$$
- 2
Находим сторону ромба:$$a = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $78^\circ$, угол $CAD$ равен $40^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $CBD$ и $CAD$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CD$, поэтому они равны.$$\angle CBD = \angle CAD = 40^\circ$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ABC$ на углы $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол правильного девятиугольника, соответствующий одной стороне, равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
- 2
Угол $ADC$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $ABC$. Эта дуга содержит две стороны девятиугольника, поэтому её градусная мера равна:$$2\cdot 40^\circ=80^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=5:8$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
- 1
У треугольников $ABC$ и $MBK$ общий угол $B$. Используем формулу площади через две стороны и угол между ними.$$S=\frac{1}{2}ab\sin B$$
- 2
Отношение площади малого треугольника к площади большого равно произведению отношений соответствующих сторон.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{16}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 2$, $AC = \sqrt{7}$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Обозначим через $O$ точку их пересечения.$$AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$$
- 2
Треугольник $AOB$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора найдём катет $BO$.$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{4 - \dfrac{7}{4}} = \dfrac{3}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $46$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании и внешний угол образуют развернутый угол:$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Медиана $BM$ в равнобедренном треугольнике является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 61$, $AC = 22$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $AH = HC = 11$.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 11$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3600} = 60$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 17, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h=a\sin\alpha$$
- 2
Находим сторону ромба:$$a=\dfrac{h}{\sin 30^\circ}=\dfrac{17}{1/2}=34$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 169^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AB \parallel CD$, угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ равен дополнительному к углу $\angle ACD$:$$\angle CAB = 180^\circ - 169^\circ = 11^\circ$$
- 2
Обозначим длину стороны $AB$ через $a$. Тогда $AC = 2a$. Направление второй диагонали $BD$ задаётся вектором $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$.
Ещё 2 шага — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 53$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ являются противоположными. Поэтому центральный угол $AOC$ равен$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна$$AC = 2R\sin\frac{60^\circ}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам и равны $40$ и $42$. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половины диагоналей равны $20$ и $21$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $6$, а $\tg A = 0{,}3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём половину основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{6}{0{,}3}=20$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На окружности радиуса 20 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 14$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2R = 2 \cdot 20 = 40$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 15$, $BD = 24$. Найдите синус угла $ABD$.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому половина диагонали $BD$ равна:$$BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ гипотенуза $AB=15$, а катет $BO=12$. Найдём второй катет:$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 4$, $BC = 2$, а её площадь равна $69$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. Найдём её из формулы площади трапеции:$$69 = \dfrac{4 + 2}{2} \cdot h = 3h$$
- 2
Следовательно, высота трапеции равна:$$h = 23$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 10$, $AC = BD = 26$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
В параллелограмме равные диагонали, поэтому он является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
- 2
Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдём вторую сторону:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Одна из диагоналей ромба равна 12, а его площадь равна 96. Найдите сторону ромба.
- 1
Найдём вторую диагональ ромба по формуле площади:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 96}{12} = 16$$
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $6$ и $8$ и являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба.$$a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$$
Основания равнобедренной трапеции равны 25 и 39, боковая сторона равна 25. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна 14. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми прямоугольными треугольниками.$$\frac{39-25}{2}=7$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора, используя боковую сторону как гипотенузу.$$h=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $113^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $B$ являются смежными, поэтому внутренний угол $B$ равен:$$B = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, поэтому углы при основании равны:$$A = B = 67^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении