Решение: Диаметр окружности по хорде

ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия

ПовышеннаяФИПИ7CEDDEКороткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 3 шагаОтвет сверен с ключом

Условие

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 53$. Найдите диаметр окружности.

Иллюстрация к условию

Чертёж окружности с диаметром $AB$ и точкой $C$. Саму картинку ещё готовим — у остальных задач темы она на месте.

Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.

Решение по шагам

3 шага

Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ являются противоположными. Поэтому центральный угол $AOC$ равен

$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна

$$AC = 2R\sin\frac{60^\circ}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

По условию $AC = 53$, значит радиус окружности $R = 53$. Тогда диаметр равен

$$AB = 2R = 2\cdot 53 = 106$$

Ответ

106

так ответ выглядит в бланке

Использовать угол $120^\circ$ вместо угла $60^\circ$ при вычислении хорды $AC$.

Принять длину хорды $AC$ за диаметр, не удвоив найденный радиус.

Закрепить приёмВ теме «Планиметрия» ещё 1 931 задача — с ответом и таким же разбором.