На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 45^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 25. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшая дуга соответствует центральному углу $45^\circ$, то есть составляет $\frac{45}{360} = \frac{1}{8}$ длины окружности.$$\frac{l_{\text{меньш.}}}{L} = \frac{45}{360} = \frac{1}{8}$$
- 2
Найдём длину всей окружности по длине меньшей дуги.$$L = 25 \cdot 8 = 200$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $27$, $\tg\angle CAD = 0{,}45$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$ прямоугольника.$$CD = AB = 27$$
- 2
По определению тангенса угла $CAD$ выразим длину стороны $AD$.$$\tg\angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{27}{AD} = 0{,}45$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна 14. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Так как сумма двух углов равна $120^\circ$, это равные острые углы:$$\alpha = \beta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Он равнобедренный с углом между сторонами $60^\circ$, поэтому является равносторонним. Следовательно, меньшая диагональ равна стороне ромба:$$a = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла 3, если $\angle 1 = 65^\circ$, $\angle 2 = 51^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, углы при основании образованного треугольника равны углам 1 и 2.$$\alpha = 65^\circ,\quad \beta = 51^\circ$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому$$\angle 3 = 180^\circ - 65^\circ - 51^\circ = 64^\circ$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $400$, сторона $AB = 14$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \frac{400}{14} = \frac{200}{7}$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий углу $CAD$ катет $CD$ равен $AB$, поэтому:$$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{14}{200/7} = \frac{98}{200} = 0{,}49$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 48. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{24}{7}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
- 2
Найдём катет $AC$.$$AC = \dfrac{BC}{\tan A} = \dfrac{48}{24/7} = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 101^\circ$, $\angle D = 105^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Так как $AD = CD$, треугольник $ADC$ также равнобедренный. Поэтому углы при вершинах $A$ и $C$ четырёхугольника равны.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + 101^\circ + \angle A + 105^\circ = 360^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике каждая из двух сторон равна 5, а третья сторона равна 8. Найдите длину медианы, проведённой к третьей стороне треугольника.
- 1
Две стороны треугольника равны, значит треугольник равнобедренный. Медиана к третьей стороне делит её пополам и является высотой.$$8 : 2 = 4$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетом 4. По теореме Пифагора найдём медиану $m$.$$m^2 + 4^2 = 5^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 24, площадь треугольника равна 60. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Найдём высоту треугольника, проведённую к основанию:$$h = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \cdot 60}{24} = 5$$
- 2
Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам, поэтому половина основания равна:$$\frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $6$. Площадь треугольника $ABC$ равна $12\sqrt{7}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $AB = BC$, медиана $BM$ к основанию $AC$ является также высотой и делит основание пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
По формуле площади найдём длину основания:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BM,\quad AC = \dfrac{2S}{BM} = \dfrac{2 \cdot 12\sqrt{7}}{6} = 4\sqrt{7}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 51$, $\sin A = \dfrac{15}{17}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB$ — боковая сторона, то $AB = BC = 51$, а углы при основании равны.
- 2
Найдём косинус угла $A$:$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{15}{17}\right)^2} = \dfrac{8}{17}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $154^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 154^\circ = 26^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 26^\circ$.$$\angle A = \angle B$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника равна 168, а одна из сторон равна 24. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.
- 1
Найдём вторую сторону прямоугольника, разделив площадь на известную сторону.$$b = \dfrac{168}{24} = 7$$
- 2
По теореме Пифагора диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$d = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$$
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 67^\circ$. Найдите угол $CMA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому угол $CMB$ в два раза больше угла $DMC$.$$\angle CMB = 2\angle DMC = 2 \cdot 67^\circ = 134^\circ$$
- 2
Луч $MA$ является продолжением луча $MB$, поэтому углы $CMA$ и $CMB$ — смежные и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMA = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 5^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 2. Найдите длину большей дуги.
- 1
Большей дуге соответствует центральный угол $360^\circ - 5^\circ = 355^\circ$.$$360^\circ - 5^\circ = 355^\circ$$
- 2
Длины дуг пропорциональны их центральным углам, поэтому длина большей дуги равна:$$2 \cdot \frac{355}{5} = 2 \cdot 71 = 142$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 13$, $\sin A = \dfrac{12}{13}$. Найдите длину стороны $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса угла $A$:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 13 \cdot \dfrac{12}{13} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 24$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Найдём угол $A$ треугольника.$$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $4$, а $\tg A = 0{,}5$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AM = MC$ и $AC = 2AM$.$$AC = 2AM$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ найдём длину половины основания по тангенсу угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM},\quad AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{4}{0{,}5} = 8$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{12}{13}$. Гипотенуза $AB = 26$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, гипотенуза — сторона $AB$, а прилежащий к углу $B$ катет — сторона $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 26 \cdot \dfrac{12}{13} = 24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 29$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим катетом, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \frac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении