На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 5$, $BC = 12$. Найдите радиус окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$, $BC = 40$. Найдите радиус окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{1681} = 41$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $44$, $\tg\angle CAD=\dfrac{5}{8}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
По условию одна сторона прямоугольника равна $44$, а другая находится из отношения, заданного тангенсом угла.$$AD=44\cdot\dfrac{5}{8}=27{,}5$$
- 2
Вычислим площадь прямоугольника как произведение его сторон.$$S=BC\cdot AD=44\cdot27{,}5=1210$$
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 52 см, а высота экрана — 20 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
- 1
Диагональ экрана является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота и ширина — его катетами.$$d^2 = h^2 + w^2$$
- 2
Выразим ширину экрана по теореме Пифагора:$$w = \sqrt{d^2 - h^2} = \sqrt{52^2 - 20^2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 64^\circ$ и $\angle BDC = 19^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как боковые стороны трапеции равны, $AB = CD$, трапеция $ABCD$ равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle ADC$.
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle ADC = 64^\circ + 19^\circ = 83^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катет прямоугольного треугольника равен 8, отрезок, соединяющий середину гипотенузы и середину этого катета, равен 3. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.
- 1
Отрезок, соединяющий середины гипотенузы и данного катета, является средней линией треугольника. Он равен половине второго катета.$$b = 2 \cdot 3 = 6$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$
Основания трапеции равны 11 и 21, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны. Поэтому$$h = 10\sin 150^\circ = 10\cdot\frac{1}{2}=5$$
- 2
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:$$S=\frac{11+21}{2}\cdot 5=16\cdot 5=80$$
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 17^\circ$, $\angle D = 101^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. Они равны по трём сторонам: $AB = BC$, $AD = CD$, сторона $BD$ общая.$$各$$
- 2
Из равенства треугольников следует, что диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам.$$\angle ABD = \frac{17^\circ}{2} = 8{,}5^\circ,\quad \angle BDA = \frac{101^\circ}{2} = 50{,}5^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $52$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
Найдём длину стороны ромба по его периметру:$$a = \dfrac{52}{4} = 13$$
- 2
Два угла, сумма которых равна $120^\circ$, являются равными острыми углами ромба. Каждый из них равен $60^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными.$$B = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$$
- 2
Поскольку $AC = BC$, углы при основании равнобедренного треугольника равны: $A = B = 73^\circ$.$$A = B$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABC...J$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $IBJ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В правильном десятиугольнике дуга между соседними вершинами $I$ и $J$ соответствует одному из десяти равных центральных углов.$$\alpha=\dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
- 2
Угол $IBJ$ является вписанным и опирается на дугу $IJ$, поэтому он равен половине соответствующего центрального угла.$$\angle IBJ=\dfrac{36^\circ}{2}=18^\circ$$
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 63$. Найдите $BD$.
- 1
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
- 2
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Для ромба диагональ $BD$ выражается через сторону $AB$ и угол $A$ формулой:$$BD = 2AB\sin\frac{\angle A}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 96 и 28. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Так как диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, этот параллелограмм является ромбом.
- 2
Половины диагоналей ромба равны $96:2=48$ и $28:2=14$. Они образуют срезанный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является стороной ромба.$$a=\sqrt{48^2+14^2}=\sqrt{2304+196}=\sqrt{2500}=50$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 45$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Обозначим $AH=x$. Так как $AC=45$, получаем $HC=45-x$.
- 2
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой $AC$. Поэтому $AM=MC=22{,}5$, а расстояние от $M$ до $H$ равно $|22{,}5-x|$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $77^\circ$, угол $CAD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга $AD$, на которую опирается угол $ABD$, равна удвоенному углу $ABD$.$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot77^\circ=154^\circ$$
- 2
Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, равна удвоенному углу $CAD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot43^\circ=86^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 92^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$$
- 2
Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому делит его на два равных угла.$$\angle DMB = \dfrac{88^\circ}{2} = 44^\circ$$
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 16, $\tg \angle CAD = 0{,}8$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $CAD$ для угла $CAD$ противолежащий катет равен $AB$, а прилежащий катет равен $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{AB}{AD}$$
- 2
Найдём сторону $AD$.$$0{,}8 = \frac{16}{AD},\quad AD = \frac{16}{0{,}8} = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\frac{1}{12}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\frac{1}{12}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{1}{12} = 30^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$$
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 40^\circ$.$$\angle A = \angle B = 40^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна 60, $\tg \angle CAD = \dfrac{7}{15}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 60$.
- 2
В треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{7}{15}$$
Ещё 2 шага — в полном решении