На окружности радиусом 6 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Диаметр окружности равен удвоенному радиусу.$$AB = 2R = 2 \cdot 6 = 12$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 10$, сторона $AB = \sqrt{26}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
В ромбе все стороны равны, поэтому в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$.
- 2
Высота из вершины $B$ к основанию $AC$ делит диагональ пополам: $AH=HC=5$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь прямоугольного треугольника равна 240. Один из катетов равен 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По формуле площади прямоугольного треугольника найдём второй катет:$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 240}{30} = 16$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{1156} = 34$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 15$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите высоту $CH$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, $AB$ — гипотенуза. Из условия $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = 0{,}6$.
- 2
По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. С учётом $AC = 0{,}6AB$ и $BC = 15$ получаем $AB = 18{,}75$, $AC = 11{,}25$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 57, боковая сторона равна 82. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется по бокам. Горизонтальная проекция боковой стороны равна:$$x=\frac{57-21}{2}=18$$
- 2
Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 82:$$h=\sqrt{82^2-18^2}=\sqrt{6724-324}=80$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 48$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 10. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой, поэтому$$AK = KC = \frac{AC}{2} = 24$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. По теореме Пифагора найдём боковую сторону:$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{676} = 26$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 13$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Обозначим $AH=x$. Тогда $HC=13-x$, а так как $M$ — середина стороны $AC$, то $AM=MC=6{,}5$. Следовательно, $HM=x-6{,}5$.
- 2
По теореме Пифагора для треугольников $BHC$ и $BHM$, учитывая условие $BC=BM$, получаем:$$(13-x)^2+BH^2=(x-6{,}5)^2+BH^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $25^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABD$ — вписанный, поэтому дуга $AD$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot25^\circ=50^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ также является вписанным и опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot41^\circ=82^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 14$, $AC = 7\sqrt{3}$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 14^2 - (7\sqrt{3})^2 = 196 - 147 = 49$$
- 2
Следовательно, $BC = 7$. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, а гипотенуза — $AB$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{7}{14} = 0.5$$
Сторона ромба равна 26, одна из его диагоналей равна 20. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина известной диагонали равна $20 : 2 = 10$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной стороне ромба, найдём половину второй диагонали:$$x = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = 24$$
- 2
Вторая диагональ равна $2 \cdot 24 = 48$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 32$, площадь ромба равна 384. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Найдём длину диагонали $BD$ по формуле площади ромба:$$384 = \dfrac{32 \cdot BD}{2}$$
- 2
Отсюда длина второй диагонали равна:$$BD = 24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 9, а острый угол ромба равен $30^\circ$.
- 1
Выразим сторону ромба через высоту и острый угол:$$h=a\sin\alpha$$
- 2
Подставим известные значения:$$9=a\sin30^\circ=\frac{a}{2},\quad a=18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 6 и 18, боковая сторона, равная 5, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 5\sin 150^\circ = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2{,}5$$
- 2
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \frac{6+18}{2} \cdot 2{,}5 = 12 \cdot 2{,}5 = 30$$
В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 2, а другое — 7. Высота трапеции равна 5. Найдите тангенс острого угла трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется между двумя боковыми прямоугольными треугольниками.$$x=\dfrac{7-2}{2}=2{,}5$$
- 2
В получившемся прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению высоты к горизонтальному катету.$$\tan\alpha=\dfrac{5}{2{,}5}=2$$
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 52 см, а ширина экрана — 48 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
- 1
Высота, ширина и диагональ экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$h^2 + 48^2 = 52^2$$
- 2
Найдём квадрат высоты:$$h^2 = 52^2 - 48^2 = 2704 - 2304 = 400$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $90^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA$ перпендикулярен одной стороне угла, а $OB$ — другой.$$OA \perp CA,\quad OB \perp CB$$
- 2
Так как стороны угла $ACB$ перпендикулярны друг другу, то и радиусы $OA$ и $OB$ образуют прямой угол.$$\angle AOB = 90^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $46$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 12$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 80^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $2$. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшая дуга соответствует центральному углу $80^\circ$, поэтому её длина составляет $\dfrac{80}{360}$ длины всей окружности.$$\frac{2}{L} = \frac{80}{360}$$
- 2
Найдём длину всей окружности.$$L = 2 \cdot \frac{360}{80} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 56^\circ$, $\angle D = 176^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$
- 2
Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник является дельтоидом, поэтому противоположные углы $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
Ещё 2 шага — в полном решении