В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 25$, $AC = 120$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{120}{2} = 60$$
- 2
Медиана $BM$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $15$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Так как сумма двух углов равна $240^\circ$, это сумма двух равных тупых углов: каждый из них равен $120^\circ$. Тогда острые углы равны $60^\circ$.$$2\alpha=240^\circ,\quad \alpha=120^\circ,\quad 180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба, проведённая между острыми углами, выражается через сторону $a$ и половину острого угла:$$d=2a\sin\frac{60^\circ}{2}=2a\sin30^\circ=a$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 19$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому применяем синус угла $A$.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{19}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике одна из сторон равна 40, а диагональ равна 41. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Стороны прямоугольника и диагональ образуют прямоугольный треугольник.$$b^2 + 40^2 = 41^2$$
- 2
Найдём вторую сторону прямоугольника:$$b = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{3}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет одну треть окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{1}{3} = 120^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла:$$\beta = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{29}$, а один из катетов равен 2.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{(\sqrt{29})^2-2^2}=\sqrt{29-4}=5$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:$$S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5$$
На окружности радиуса 12 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 15$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ опирается на диаметр и является прямым.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности равен двум радиусам.$$AB = 2R = 2 \cdot 12 = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 24, боковая сторона равна 25. Найдите высоту трапеции.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. В получившемся прямоугольном треугольнике горизонтальный катет равен половине разности оснований:$$x=\frac{24-10}{2}=7$$
- 2
Боковая сторона трапеции является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:$$h^2+7^2=25^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Одна из диагоналей ромба равна 6, а его площадь равна 24. Найдите сторону ромба.
- 1
Используем формулу площади ромба и найдём вторую диагональ.$$24 = \dfrac{6d_2}{2},\quad d_2 = 8$$
- 2
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей равны $3$ и $4$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна 22, а $\tg A = 1{,}1$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AM=MC$ и $AC=2AM$.$$AC=2AM$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса угла $A$:$$\tg A=\frac{BM}{AM}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольнике одна из сторон равна 21, а диагональ равна 29. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Обозначим неизвестную сторону прямоугольника через $b$. По теореме Пифагора:$$21^2 + b^2 = 29^2$$
- 2
Найдём вторую сторону:$$b^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400,\quad b = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13$, $AC = 10$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 5$$
- 2
Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ является также высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$$
На окружности радиуса 20 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 4$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Диаметр окружности равен двум радиусам:$$AB = 2R = 2 \cdot 20 = 40$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса. В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$:$$\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна 36.
- 1
Площадь квадрата равна $a^2 = 36$, значит его сторона, а значит и сторона ромба, равна:$$a = \sqrt{36} = 6$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла:$$S = a^2 \sin 30^\circ = 6^2 \cdot \frac{1}{2} = 18$$
Площадь прямоугольного треугольника 96. Один из катетов 12. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Выразим второй катет из формулы площади прямоугольного треугольника.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 96}{12} = 16$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$
Площадь прямоугольника равна 108, а одна из сторон равна 12. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.
- 1
Найдём длину второй стороны прямоугольника по известной площади:$$b = \dfrac{108}{12} = 9$$
- 2
Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами 12 и 9. По теореме Пифагора:$$d = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$
Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 100, боковая сторона равна 60. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. Горизонтальный отрезок у каждой боковой стороны равен половине разности оснований:$$x=\dfrac{100-28}{2}=36$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции:$$h=\sqrt{60^2-36^2}=\sqrt{2304}=48$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 10^\circ$ и $\angle BDC = 109^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол при вершине $D$ трапеции складывается из углов $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 10^\circ + 109^\circ = 119^\circ$$
- 2
Так как боковые стороны трапеции равны ($AB = CD$), трапеция равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 119^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 34$, $AC = 32$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, применяем теорему Пифагора:$$34^2 = 16^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=\sqrt{13}$, $\sin A=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, гипотенуза треугольника — сторона $AB$. По определению синуса:$$\sin A=\frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC=AB\cdot\sin A=\sqrt{13}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=3$$
Ещё 2 шага — в полном решении