В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 75$, $AC = 120$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{120}{2} = 60$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора найдём медиану $BM$.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{75^2 - 60^2} = \sqrt{5625 - 3600} = \sqrt{2025} = 45$$
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 41^\circ$. Найдите величину угла $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ADB$, опирающийся на диаметр, прямой:$$\angle ADB = 90^\circ$$
- 2
В треугольнике $ADB$ найдём угол $DAB$:$$\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 59^\circ$, угол $2 = 38^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол при верхней вершине треугольника, смежный с углом $1$, учитывается через внешний угол. По теореме о внешнем угле треугольника угол $1$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.$$59^\circ = 38^\circ + (180^\circ - \angle 3)$$
- 2
Выразим угол $3$.$$\angle 3 = 180^\circ - 59^\circ - 38^\circ = 83^\circ$$
Основания трапеции равны 9 и 17, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции — перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h=10\sin150^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5$$
- 2
Используем формулу площади трапеции через основания и высоту.$$S=\frac{9+17}{2}\cdot5=13\cdot5=65$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 200, сторона $AB = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{200}{8} = 25$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$, поэтому $CD = 8$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 44 и 76, боковая сторона равна 65. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований трапеции равна $76-44=32$. В равнобедренной трапеции с каждой стороны образуется отрезок длиной $32:2=16$.$$x=\frac{76-44}{2}=16$$
- 2
Высоту трапеции найдём по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 65 и катетом 16.$$h=\sqrt{65^2-16^2}=\sqrt{4225-256}=63$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 31$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$∠A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому применяем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{31}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $151^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$∠B = 180^\circ - 151^\circ = 29^\circ$$
- 2
Поскольку $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $∠A = ∠B = 29^\circ$.$$∠A = ∠B$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 24^\circ$ и $\angle BDC = 70^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из условия $AB = CD$, поэтому трапеция $ABCD$ равнобедренная. Следовательно, углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle CDA$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $CDA$ на углы $BDC$ и $BDA$.$$\angle CDA = \angle BDC + \angle BDA = 70^\circ + 24^\circ = 94^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$. Площадь треугольника равна 20. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами.$$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BC$$
- 2
Найдём длину катета $AC$:$$AC = \dfrac{2S}{BC} = \dfrac{2 \cdot 20}{5} = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $18^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен соответствующей касательной. Поэтому $\angle CAO = 90^\circ$ и $\angle CBO = 90^\circ$.$$OA \perp AC,\quad OB \perp BC$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 18^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 16 и 30. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом.
- 2
Половины диагоналей ромба равны $16 : 2 = 8$ и $30 : 2 = 15$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 30$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
- 2
Угол $C$ прямой, поэтому катет $BC$ лежит напротив угла $30^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $2\sqrt{5}$, а один из катетов равен $2$.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет.$$b=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.$$S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $245$, сторона $BC = 35$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $AD = BC = 35$, найдём другую сторону:$$AB = \frac{245}{35} = 7$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD = 7$, прилежащий катет — $AD = 35$.$$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 40$, $AC = 48$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $24$. По теореме Пифагора для половин диагоналей и стороны ромба:$$40^2 = 24^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Обе диагонали параллелограмма равны 61. Одна из сторон параллелограмма равна 60. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.$$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$$
- 2
Подставим известные значения диагоналей и одной стороны:$$61^2+61^2=2(60^2+b^2)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $108$, $BC = 12$. Найдите синус угла $CAB$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AB$:$$AB = \dfrac{108}{12} = 9$$
- 2
Диагональ $AC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$:$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна 20, а $\tg A = 1{,}6$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A=\frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания:$$AM=\frac{BM}{\tg A}=\frac{20}{1{,}6}=12{,}5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 4$, а её площадь равна 21. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Обозначим высоту трапеции через $h$. Площадь треугольника $ABC$ с основанием $BC$ равна:$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h = 2h$$
- 2
Площадь трапеции равна:$$S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{8+4}{2}h = 6h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении