В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 20$, $\cos A = 0{,}7$. Найдите высоту $CH$.
- 1
Рассмотрим площадь треугольника $ABC$, вычисленную через катеты:$$S = \dfrac{AC \cdot BC}{2}$$
- 2
Вычислим ту же площадь через гипотенузу $AB$ и высоту $CH$:$$S = \dfrac{AB \cdot CH}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $157^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания, поэтому $\angle CAO = \angle CBO = 90^\circ$.$$\angle CAO = \angle CBO = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 157^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 50$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополняют внешние углы до $180^\circ$:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Углы при вершинах $A$ и $C$ равны, поэтому $AB = BC$, а биссектриса $BK$ является высотой. В прямоугольном треугольнике $ABK$ угол $A$ равен $30^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 45$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $112^\circ$, угол $CAD$ равен $70^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга $ACD$, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу $ABC$.$$\overset{\frown}{ACD}=2\cdot112^\circ=224^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому её величина равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot70^\circ=140^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $3$, а $\tg A = \dfrac{3}{4}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM=3$$
- 2
По определению тангенса угла $A$ найдём отрезок $AM$.$$\tg A=\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{3}{AM}=\dfrac{3}{4},\quad AM=4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 10 и 35. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 21. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.
- 1
Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту к ней равна:$$S = 10 \cdot 21 = 210$$
- 2
Та же площадь через большую сторону и искомую высоту:$$S = 35h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 24$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.
- 1
Внутренний угол при вершине $C$ является смежным с внешним:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Поскольку $AB = BC$, углы при основании равны, поэтому $\angle A = 30^\circ$, а $\angle B = 120^\circ$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $77$, сторона $BC = 10$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{BC} = \dfrac{77}{10} = 7{,}7$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$. При этом $CD = AB = 7{,}7$ и $AD = BC = 10$:$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{7{,}7}{10} = 0{,}77$$
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=5:7$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
- 1
Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$. Площади треугольников, образованных двумя сторонами этого угла, относятся как произведение отношений соответствующих сторон.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
- 2
Подставим данные из условия.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{7}=\frac{5}{14}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 60 и 32. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому их половины равны $30$ и $16$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 24$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary внешним, поэтому каждый из них равен $30^\circ$.$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Треугольник равнобедренный: $AB=BC=24$. Угол при вершине $B$ равен $120^\circ$, а биссектриса $BK$ делит его пополам и является высотой.$$\angle ABK = 60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{13}$, $BC = 26$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = BC \cdot \tg B = 26 \cdot \dfrac{7}{13} = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $35^\circ$, угол $CAD$ равен $51^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому её величина равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot 35^\circ=70^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot 51^\circ=102^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 20^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 5. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшая дуга соответствует центральному углу $20^\circ$, поэтому её длина составляет $\dfrac{20}{360}$ длины окружности.$$\frac{5}{L} = \frac{20}{360}$$
- 2
Найдём длину всей окружности:$$L = 5 \cdot \frac{360}{20} = 90$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $BDE$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол правильного девятиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
- 2
Угол $BDE$ является вписанным и опирается на дугу $BE$, не содержащую вершину $D$. Эта дуга включает 6 равных дуг.$$\overset{\frown}{BE}=6\cdot40^\circ=240^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катет прямоугольного треугольника равен 30, одна из средних линий равна 8. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Значит, сторона, параллельная данной средней линии, равна:$$2 \cdot 8 = 16$$
- 2
В прямоугольном треугольнике эта сторона является вторым катетом. По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34$$
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 55^\circ$, $\angle D = 117^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из равенств $AB = BC$ и $AD = CD$ следует, что треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам. Поэтому диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам.$$AB=BC,\ AD=CD,\ BD=BD$$
- 2
Найдём углы треугольника $ABD$ при вершинах $B$ и $D$.$$\angle ABD=\frac{55^\circ}{2}=27{,}5^\circ,\quad \angle BDA=\frac{117^\circ}{2}=58{,}5^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $DBJ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В правильном десятиугольнике центральный угол, соответствующий одной стороне, равен:$$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
- 2
Угол $DBJ$ — вписанный. Он опирается на дугу $DJ$, не содержащую вершину $B$. Эта дуга включает стороны $DE$, $EF$, $FG$, $GH$, $HI$, $IJ$, то есть шесть равных дуг.$$m\widehat{DJ}=6\cdot36^\circ=216^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 30$, $AC = 24$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Катет $AC$ прилежит к углу $B$.$$AB = 30,\quad AC = 24$$
- 2
Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\cos B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{24}{30} = 0.6$$