В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $5$. Площадь треугольника $ABC$ равна $10\sqrt{6}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $AB = BC$, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой и делит основание пополам.
- 2
Найдём длину основания из формулы площади:$$10\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $AC = 2\sqrt{19}$. Найдите $\cos B$.
- 1
По теореме Пифагора найдём катет $BC$:$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - (2\sqrt{19})^2} = \sqrt{400 - 76} = 18$$
- 2
Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{18}{20} = 0.9$$
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 61$, $AC = 22$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то все его стороны равны, поэтому $ABCD$ — ромб.$$AB = BC = CD = DA = 61$$
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина диагонали $AC$ равна $22 : 2 = 11$.$$AO = \frac{AC}{2} = 11$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 5$, $AC = \sqrt{21}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - (\sqrt{21})^2 = 25 - 21 = 4$$
- 2
Следовательно, $BC = 2$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0,4$$
В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.
- 1
Разность оснований равна горизонтальному катету прямоугольного треугольника:$$7 - 4 = 3$$
- 2
Угол при наклонной боковой стороне равен $135^\circ$, поэтому острый угол образованного прямоугольного треугольника равен $45^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 29^\circ$. Найдите величину угла $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot 29^\circ=58^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $DAB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$. Найдём дугу $DB$, не содержащую точку $C$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-58^\circ=122^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 19, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{19}{1/2} = 38$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0{,}96$. Гипотенуза $AB = 50$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, гипотенуза — сторона $AB$. По определению косинуса:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 50 \cdot 0{,}96 = 48$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 18, $\tg \angle CAD = 0{,}6$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$ прямоугольника:$$CD = AB = 18$$
- 2
По определению тангенса угла $CAD$:$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{18}{AD} = 0{,}6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 12$, $AC = 3\sqrt{7}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 12^2 - (3\sqrt{7})^2 = 144 - 63 = 81$$
- 2
Следовательно, $BC = 9$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{5}{13}$. Гипотенуза $AB = 39$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, гипотенуза треугольника — сторона $AB$. По определению косинуса:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 39 \cdot \frac{5}{13} = 15$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна $34$.
- 1
Стороны ромба и квадрата равны, поэтому квадрат стороны ромба равен площади квадрата:$$a^2 = 34$$
- 2
Площадь ромба вычисляется по формуле через сторону и угол между сторонами:$$S = a^2\sin 30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 50$, $AC = 96$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $AC/2 = 96/2 = 48$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB = 50$ по теореме Пифагора найдём половину диагонали $BD$:$$\left(\frac{BD}{2}\right)^2 + 48^2 = 50^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \frac{15}{17}$. Гипотенуза $AB = 34$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 34 \cdot \frac{15}{17} = 30$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания трапеции равны 13 и 19, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 8\sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
- 2
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S = \frac{13+19}{2}\cdot 4 = 16\cdot 4 = 64$$
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 8^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, равна удвоенному углу.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot 8^\circ=16^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, верхняя полуокружность $A D B$ имеет величину $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-16^\circ=164^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 50$, $AC = 14$. Найдите $\cos B$.
- 1
По теореме Пифагора найдём катет $BC$:$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2304} = 48$$
- 2
Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{48}{50} = 0{,}96$$
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 52^\circ$ и $\angle BDC = 26^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle ADC = 52^\circ + 26^\circ = 78^\circ$$
- 2
Так как $AB = CD$, трапеция $ABCD$ равнобедренная. Углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC = 78^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 12$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Поэтому гипотенуза в два раза больше катета $BC$.$$AB = 2BC = 2 \cdot 12 = 24$$
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $36$, $\tg \angle CAD = \dfrac{5}{18}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Для прямоугольного треугольника, образованного диагональю $AC$, выразим длину стороны $AD$ через заданный тангенс:$$\tg \angle CAD = \dfrac{AD}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$:$$AD = 36 \cdot \dfrac{5}{18} = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении