В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 11. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, $AM = MC$. Поскольку $BM$ — биссектриса, по теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AM}{MC} = 1$. Следовательно, $AB = BC$.$$AB = BC$$
- 2
Треугольник $ABC$ равнобедренный, а медиана к основанию одновременно является высотой. Угол $B$ разделён пополам, поэтому $\angle ABM = 60^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 58$, $AC = 80$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
В прямоугольном треугольнике половины диагоналей являются катетами, а сторона ромба — гипотенузой.$$58^2 = 40^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с бо́льшим основанием $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 8$, $BC = CD = 10$. Найдите среднюю линию трапеции.
- 1
Проведём из вершины $C$ перпендикуляр к большему основанию $AD$. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $CD = 10$ и высотой, равной $AB = 8$.$$h = AB = 8$$
- 2
Найдём горизонтальную проекцию боковой стороны $CD$, то есть разность оснований.$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 20$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите высоту $CH$.
- 1
По определению косинуса угла $A$:$$\cos A = \frac{AC}{AB} = 0{,}6$$
- 2
Так как треугольник прямоугольный, синус угла $A$ равен $0{,}8$. Следовательно, $\frac{BC}{AB}=0{,}8$, откуда:$$AB = \frac{BC}{0{,}8} = \frac{20}{0{,}8} = 25$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 9$, боковая сторона $BC = 41$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK \perp AC$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600} = 40$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания трапеции равны 9 и 21, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h=8\sin150^\circ=8\cdot\frac{1}{2}=4$$
- 2
Вычислим площадь трапеции по формуле через основания и высоту.$$S=\frac{9+21}{2}\cdot4=60$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 53$, $AC = 56$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 28$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{53^2 - 28^2} = \sqrt{2025} = 45$$
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 50 см, а высота экрана — 30 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
- 1
Ширина, высота и диагональ прямоугольника образуют прямоугольный треугольник.$$w^2 + 30^2 = 50^2$$
- 2
Выразим ширину экрана:$$w = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 15$, $AC = 24$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$$
- 2
Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{6}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{1}{6}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{1}{6} = 60^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза меньше центрального:$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$
$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $BAG$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол правильного девятиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
- 2
Дуга $BG$, не содержащая точку $A$, включает пять равных дуг:$$5\cdot 40^\circ=200^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $50$, $\tg \angle CAD = \dfrac{9}{20}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Используем значение тангенса угла и находим вторую сторону прямоугольника:$$CD = BC \cdot \dfrac{9}{20} = 50 \cdot \dfrac{9}{20} = 22{,}5$$
- 2
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:$$S = BC \cdot CD = 50 \cdot 22{,}5 = 1125$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $3$. Площадь треугольника $ABC$ равна $18\sqrt{2}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $AB=BC$, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой и делит основание пополам.$$AM=MC=\frac{AC}{2}$$
- 2
Найдём основание треугольника по формуле площади:$$18\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 3,\quad AC=12\sqrt{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольного треугольника равна 540. Один из катетов равен 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Выразим второй катет из формулы площади прямоугольного треугольника.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 540}{24} = 45$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 45^2} = \sqrt{2601} = 51$$
В трапеции $ABCD$ основания $AD = 6$, $BC = 1$. Площадь трапеции равна $42$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. По формуле площади трапеции:$$42 = \dfrac{6 + 1}{2}h$$
- 2
Найдём высоту трапеции:$$h = \dfrac{84}{7} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна 64.
- 1
Найдём сторону квадрата и, следовательно, сторону ромба. Если площадь квадрата равна 64, то$$a^2 = 64,\quad a = 8$$
- 2
Площадь ромба через сторону и острый угол вычисляется по формуле$$S = a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $21$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Если сумма двух равных углов равна $120^\circ$, каждый из них равен $60^\circ$.$$2\alpha = 120^\circ,\quad \alpha = 60^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. При угле $60^\circ$ этот треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали.$$a = 21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $112^\circ$. Найдите величину угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку лучи $OC$ и $OA$ являются противоположными, а лучи $OD$ и $OB$ также являются противоположными, центральные углы $AOD$ и $AOB$ дополняют друг друга до $180^\circ$.$$\angle AOB=180^\circ-\angle AOD=180^\circ-112^\circ=68^\circ$$
- 2
Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ$$
В прямоугольном треугольнике катеты равны 7 и 24. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
- 1
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:$$c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49+576} = 25$$
- 2
Выразим площадь треугольника двумя способами:$$S = \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24 = \frac{1}{2}\cdot 25\cdot h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 3\sqrt{19}$, $AC = 5\sqrt{19}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
По теореме косинусов найдём квадрат стороны $AB$.$$AB^2 = (5\sqrt{19})^2 + (3\sqrt{19})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{19} \cdot \cos 60^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении