В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 60$, площадь ромба равна 360. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Найдём диагональ $BD$:$$360 = \dfrac{60 \cdot BD}{2},\quad BD = 12$$
- 2
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому $AO = 30$, $BO = 6$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $63$, $\tan \angle CAD = \dfrac{7}{27}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 63$.$$AD = 63$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{7}{27}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{26}$, $BC = 1$. Найдите $\tg A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдём катет $AC$:$$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 26 - 1 = 25$$
- 2
Следовательно, $AC = 5$. Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{5}$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 37$, $AC = 24$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$$
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, боковая сторона равна 5. Найдите высоту трапеции.
- 1
Разность оснований равна $13 - 7 = 6$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по бокам, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $6 : 2 = 3$.$$x = \frac{13 - 7}{2} = 3$$
- 2
Высота трапеции и горизонтальная проекция боковой стороны образуют с боковой стороной прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём высоту.$$h^2 + 3^2 = 5^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 10 и 80. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 48. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту, опущенную на неё.$$S = 10 \cdot 48 = 480$$
- 2
Та же площадь выражается через большую сторону и искомую высоту.$$S = 80h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 5^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $CD \parallel AB$, угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ равен $5^\circ$.
- 2
Пусть $AB=1$. По условию $AC=2$. Направим вектор $AB$ горизонтально. Тогда вектор диагонали $AC$ имеет направление $5^\circ$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 600, сторона $AB = 15$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{600}{15} = 40$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$, то есть $CD = 15$. Для угла $CAD$:$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{15}{40} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$$
Стороны параллелограмма равны 12 и 15. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 5. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.
- 1
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = ah_a = bh_b$$
- 2
Используем меньшую сторону и известную высоту, затем найдём высоту к большей стороне:$$12 \cdot 5 = 15 \cdot h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 32, площадь треугольника равна 192. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Выразим высоту треугольника из формулы площади:$$h=\dfrac{2S}{AC}=\dfrac{2\cdot192}{32}=12$$
- 2
В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит основание пополам:$$AK=KC=\dfrac{32}{2}=16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 21$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды выражается через радиус и центральный угол:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $142^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $B$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle B = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$
- 2
Так как стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 38^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $163^\circ$, угол $ABC$ равен $152^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Пусть $\angle BAC=\alpha$, а $\angle ACB=x$. По сумме углов треугольника $ABC$:$$\alpha+152^\circ+x=180^\circ$$
- 2
Так как $AL$ — биссектриса, $\angle CAL=\dfrac{\alpha}{2}$. В треугольнике $ALC$:$$\dfrac{\alpha}{2}+x+163^\circ=180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 8, $\tg \angle CAD = 0{,}25$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$. Так как $CD = AB = 8$, получаем:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{8}{AD} = 0{,}25$$
- 2
Найдём длину стороны $AD$:$$AD = \frac{8}{0{,}25} = 32$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 10 и 75. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 45. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту равна:$$S = 10 \cdot 45 = 450$$
- 2
Пусть $h$ — высота, опущенная на большую сторону. Тогда:$$75h = 450$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 35. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому косинус угла $ABK$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 11$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды выражается через радиус и центральный угол:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $27$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Поэтому из условия следует, что углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.$$\alpha=60^\circ,\quad \beta=120^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она образует с двумя сторонами равносторонний треугольник, так как углы при его основании равны $60^\circ$.$$d_{\text{меньшая}}=a$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
- 1
Применим основное тригонометрическое тождество.$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
- 2
Подставим значение косинуса:$$\sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $33^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга $ADC$, на которую опирается угол $ABC$, в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot38^\circ=76^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому её величина равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot33^\circ=66^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении