На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 23^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому величина дуги $DA$ вдвое больше угла $DBA$.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot 23^\circ=46^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-46^\circ=134^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 65, сторона $BC = 10$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $AB = CD$, найдём вторую сторону:$$AB = \frac{S}{BC} = \frac{65}{10} = 6{,}5$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{6{,}5}{10} = 0{,}65$$
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 60$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы треугольника при вершинах $A$ и $C$ являются дополнительными к внешним:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Так как углы при основании равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, причём $AB = BC$. Биссектриса $BK$ из вершины равнобедренного треугольника является также высотой.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $4$. Площадь треугольника $ABC$ равна $8\sqrt{5}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ является также высотой и делит основание пополам.
- 2
Из формулы площади найдём длину основания:$$AC = \dfrac{2S}{BM} = \dfrac{2 \cdot 8\sqrt{5}}{4} = 4\sqrt{5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 9$, $BC = 6$, а её площадь равна 75. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Обозначим высоту трапеции через $h$. Используем формулу площади трапеции:$$75 = \dfrac{9+6}{2}h$$
- 2
Найдём высоту трапеции:$$h = \dfrac{75\cdot 2}{15}=10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $9$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, имеют величину:$$\alpha=\frac{240^\circ}{2}=120^\circ$$
- 2
Соседний угол ромба является дополнительным к нему:$$\beta=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 45^\circ$ и $\angle BDC = 23^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как в трапеции боковые стороны равны: $AB = CD$, трапеция является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на два угла, поэтому:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 45^\circ + 23^\circ = 68^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 83^\circ$ и $\angle BDC = 12^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как в трапеции $ABCD$ боковые стороны равны ($AB = CD$), трапеция равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle ADC$.
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = 83^\circ + 12^\circ = 95^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $134^\circ$, угол $CAD$ равен $81^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина в два раза больше угла $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\cdot134^\circ=268^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot81^\circ=162^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 26. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём меньший катет:$$b = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = 10$$
- 2
Наименьшая средняя линия соединяет середины двух сторон, одна из которых является меньшим катетом. Она равна половине этого катета:$$l = \dfrac{10}{2} = 5$$
На окружности радиусом $\sqrt{5}$ отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 4$. Найдите длину хорды $BC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Найдём диаметр окружности.$$AB = 2R = 2\sqrt{5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 4\sqrt{3}$, $AC = 8\sqrt{3}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол треугольника при вершине $C$ является смежным с внешним углом:$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
По теореме косинусов:$$AB^2 = (8\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 24$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ в сумме дают $180^\circ$.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим катетом, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 50$, $\cos A = \dfrac{7}{25}$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса угла:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 50 \cdot \frac{7}{25} = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 21$, $AC = BD = 29$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
Так как диагонали параллелограмма равны, параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
- 2
Найдём вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{400} = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 56$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Поскольку $AB$ — диаметр, центральный угол $\angle AOB$ равен $180^\circ$. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды выражается через радиус и центральный угол:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $9$, а $\tg A = 1{,}8$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания:$$AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{9}{1{,}8} = 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $12$, $\tg \angle CAD = 0{,}36$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $CD$ равна стороне $AB$, поэтому $CD = 12$.$$CD = AB = 12$$
- 2
По определению тангенса угла $CAD$:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = 0{,}36$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 48, площадь треугольника равна 240. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Найдём высоту треугольника из формулы площади:$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 240}{48} = 10$$
- 2
В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам:$$\dfrac{AC}{2} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $58^\circ$, угол $ABC$ равен $54^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим искомый угол $ACB$ через $x$. Тогда по сумме углов треугольника $ABC$ угол $A$ равен:$$\angle A=180^\circ-54^\circ-x=126^\circ-x$$
- 2
Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $CAL$ равен половине угла $A$:$$\angle CAL=\frac{126^\circ-x}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении