Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 66^\circ$, $\angle 2 = 88^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из-за параллельности прямых $m$ и $n$ угол при левом основании образовавшегося треугольника равен углу $1$ как накрест лежащий угол.$$\alpha = \angle 1 = 66^\circ$$
- 2
Угол при правом основании треугольника равен углу $2$ и составляет $88^\circ$.$$\beta = \angle 2 = 88^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника равна 660, а одна из сторон равна 11. Найдите диагональ этого прямоугольника.
- 1
Найдём вторую сторону прямоугольника:$$b = \frac{660}{11} = 60$$
- 2
Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами $11$ и $60$.$$d = \sqrt{11^2 + 60^2} = \sqrt{121 + 3600} = \sqrt{3721} = 61$$
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 12$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, поэтому углы $AOC$ и $COB$ являются смежными.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
В треугольнике $AOC$ стороны $AO$ и $OC$ равны как радиусы, поэтому он равнобедренный. При угле $AOC = 60^\circ$ его углы при основании также равны $60^\circ$, следовательно, треугольник равносторонний.$$AO = AC = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $62^\circ$, угол $ABC$ равен $47^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $BAC$ равен$$\angle BAC=180^\circ-47^\circ-x=133^\circ-x$$
- 2
Поскольку $AL$ — биссектриса угла $A$, угол $LAC$ равен половине угла $BAC$.$$\angle LAC=\frac{133^\circ-x}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $79^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку $CA$ и $CB$ являются касательными к окружности.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $ACOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 79^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Одна из диагоналей ромба равна 10, а его площадь равна 120. Найдите сторону ромба.
- 1
Используем формулу площади ромба и найдём вторую диагональ.$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 120}{10} = 24$$
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $5$ и $12$.$$a = \sqrt{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 30$, $\tg A = \frac{4}{3}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Поэтому отрезок от вершины $A$ до основания высоты равен $15$.$$AC_1 = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом $A$. По определению тангенса найдём высоту треугольника.$$\tg A = \frac{h}{15} = \frac{4}{3}, \quad h = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона ромба равна 50, одна из его диагоналей равна 28. Найдите площадь ромба.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина известной диагонали равна $28:2=14$.
- 2
По теореме Пифагора найдём половину второй диагонали:$$x=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2500-196}=\sqrt{2304}=48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 29. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как медиана $BM$ одновременно является биссектрисой угла $B$, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$.
- 2
Биссектриса делит угол $B$ пополам, поэтому $\angle ABM = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, значит $\triangle ABM$ прямоугольный.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 17^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим $|AB|=1$. Тогда по условию $|AC|=2$. Так как $CD \parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $17^\circ$.$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \angle(AC,AB)=17^\circ$$
- 2
Вектор второй диагонали выражается через векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$:$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 8$. $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Поэтому $AM = MC = 4$.
- 2
Обозначим $AH = x$. Тогда $MH = 4 - x$, а $HC = 8 - x$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $BD = 15$.
- 1
Обозначим $\overrightarrow{AB}=\mathbf b$, $\overrightarrow{AD}=\mathbf d$. Тогда координатно-векторные положения точек можно записать так: $B=\mathbf b$, $D=\mathbf d$, а так как $M$ — середина $BC$, то $M=\mathbf b+\dfrac12\mathbf d$.$$M=\mathbf b+\dfrac12\mathbf d$$
- 2
Пусть $K$ лежит на отрезке $BD$ и имеет вид $K=(1-t)\mathbf b+t\mathbf d$. Поскольку $K$ лежит на $AM$, также $K=s\left(\mathbf b+\dfrac12\mathbf d\right)$.$$(1-t)\mathbf b+t\mathbf d=s\mathbf b+\dfrac{s}{2}\mathbf d$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $125$, сторона $AB = 10$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{125}{10} = 12{,}5$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD = AB = 10$, а прилежащий катет — $AD = 12{,}5$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{10}{12{,}5} = 0{,}8$$
$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $BHF$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного восьмиугольника, равен:$$\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$$
- 2
Дуга $BF$, не содержащая вершину $H$, состоит из четырёх таких дуг:$$\angle BÔF=4\cdot45^\circ=180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ основания $AD = 8$, $BC = 5$. Площадь трапеции равна 13. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$, имеющие общую высоту к основаниям $BC$ и $AD$.$$S_{ABC}:S_{ACD}=BC:AD=5:8$$
- 2
Площадь всей трапеции состоит из площадей этих двух треугольников, поэтому доля площади треугольника $ABC$ равна $\dfrac{5}{5+8}$.$$S_{ABC}=13\cdot\frac{5}{5+8}=5$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 5$, боковая сторона $BC = 13$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK \perp AC$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$, $\cos A = 0{,}75$. Найдите высоту $CH$.
- 1
Так как $CH \perp AB$, треугольник $BCH$ прямоугольный, а угол при вершине $B$ равен углу $B$ исходного треугольника. Удобнее использовать соотношение высоты к гипотенузе: $CH = BC \cdot \cos A$.$$CH = BC \cdot \cos A$$
- 2
Подставим известные значения.$$CH = 4 \cdot 0{,}75 = 3$$
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $24$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
Найдём длину стороны ромба по периметру:$$a = \dfrac{24}{4} = 6$$
- 2
Сумма двух равных противоположных углов равна $120^\circ$, поэтому меньший угол ромба равен $60^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 14^\circ$ и $\angle BDC = 106^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как в трапеции $ABCD$ боковые стороны равны: $AB = CD$, трапеция равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle DAB = \angle ADC$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14^\circ + 106^\circ = 120^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В окружности проведены пересекающиеся хорды $AB$ и $KM$. Величина дуги $AK$ равна $42^\circ$, а величина дуги $BM$ равна $44^\circ$. Чему равен угол между хордами $AB$ и $KM$? Ответ дайте в градусах.
- 1
Для угла, образованного пересекающимися хордами внутри окружности, используем формулу:$$\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AK}+\overset{\frown}{BM}\right)$$
- 2
Подставим значения величин дуг:$$\alpha=\frac{1}{2}(42+44)=\frac{86}{2}=43^\circ$$