Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 17^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим $|AB|=1$. Тогда по условию $|AC|=2$. Так как $CD \parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $17^\circ$.
$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \angle(AC,AB)=17^\circ$$Вектор второй диагонали выражается через векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$:
$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$Найдём длину второй диагонали:
$$|BD|^2=|AC|^2+4|AB|^2-4|AC||AB|\cos17^\circ=8(1-\cos17^\circ)=16\sin^2 8{,}5^\circ$$Скалярное произведение диагоналей равно:
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=|AC|^2-2|AC||AB|\cos17^\circ=4(1-\cos17^\circ)$$Если $\varphi$ — угол между диагоналями, то после подстановки получаем:
$$\cos\varphi=\frac{4(1-\cos17^\circ)}{2\cdot4\sin8{,}5^\circ}=\sin8{,}5^\circ=\cos81{,}5^\circ$$Следовательно, угол между диагоналями равен $81{,}5^\circ$.
$$\varphi=81{,}5^\circ$$Где здесь ошибаются
Путать угол между диагоналями с углом между диагональю и стороной.
Использовать угол $17^\circ$ без учёта параллельности сторон $AB$ и $CD$.
Выбрать дополнительный угол $98{,}5^\circ$ вместо меньшего угла между диагоналями.