12
Решение: Угол вписанного четырёхугольника
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИ78927FКороткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $CAD$ равен $74^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
По теореме о вписанном угле дуга, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу $ABC$:
$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot120^\circ=240^\circ$$2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:
$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot74^\circ=148^\circ$$3
Найдём дугу $AD$ как часть дуги $ADC$:
$$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{ADC}-\overset{\frown}{CD}=240^\circ-148^\circ=92^\circ$$Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, значит:
$$\angle ABD=\dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AD}=\dfrac{92^\circ}{2}=46^\circ$$Ответ
46
46
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что вписанный угол равен половине дуги, и берут величину дуги равной углу.
Для угла $ABC$ рассматривают не дугу $ADC$, а малую дугу $AC$.
Вычитают из $240^\circ$ величину угла $CAD$, а не удвоенную величину дуги $CD$.