12
Решение: Длина отрезка AH
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИ810FB2Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 5 шаговОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 14$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
5 шагов1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$: $AM = MC = 7$.
2
Обозначим $AH = x$. Тогда $MH = x - 7$, а $HC = 14 - x$.
3
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $BHM$ и $BHC$:
$$BM^2 = BH^2 + (x-7)^2,\quad BC^2 = BH^2 + (14-x)^2$$4
Так как $BC = BM$, приравняем выражения для квадратов этих отрезков и сократим $BH^2$:
$$(x-7)^2 = (14-x)^2$$Решаем уравнение:
$$x-7 = 14-x,\quad 2x=21,\quad x=10.5$$Ответ
10.5
10.5
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что медиана делит сторону $AC$ пополам.
Неверно выражают длину $MH$: $MH = AH - 7$.
Приравнивают длины, но не используют теорему Пифагора для соответствующих прямоугольных треугольников.