Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 104^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим $AB = a$. Тогда $AC = 2a$. Угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $104^\circ$.
$$AC=2a,\quad AB=a$$Поскольку $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$, найдём длину диагонали $BD$.
$$BD^2=AC^2+4AB^2-4\,AC\cdot AB\cos104^\circ=8a^2(1-\cos104^\circ)$$Скалярное произведение диагоналей равно:
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=AC^2-2\,AC\cdot AB\cos104^\circ=4a^2(1-\cos104^\circ)$$Используя формулу косинуса угла между диагоналями и равенство $1-\cos104^\circ=2\sin^2 52^\circ$, получаем:
$$\cos\varphi=\frac{4a^2(1-\cos104^\circ)}{2a\cdot\sqrt{8a^2(1-\cos104^\circ)}}=\sin52^\circ=\cos38^\circ$$Следовательно, угол между диагоналями равен $38^\circ$.
$$\varphi=38^\circ$$Где здесь ошибаются
Путать угол между диагоналями с углом $\angle ACD$.
Использовать внешний, а не внутренний угол между направлениями диагоналей.
Неверно записать вектор диагонали $BD$.