Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 127^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
5 шаговПусть $AB = CD = 1$. Тогда $AC = 2$. В треугольнике $ACD$ по теореме косинусов:
$$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos 127^\circ = 5 - 4\cos 127^\circ$$Обозначим векторы $\overrightarrow{AB}=\vec b$ и $\overrightarrow{AD}=\vec d$. Тогда диагонали имеют направления $\vec b+\vec d$ и $\vec d-\vec b$.
Так как $|\vec b+\vec d|=AC=2$, получаем $\vec b\cdot\vec d=(3-AD^2)/2$. Поэтому квадрат длины второй диагонали равен:
$$|\vec d-\vec b|^2=2(AD^2-1)$$Косинус острого угла между диагоналями равен:
$$\cos\varphi=\frac{|AD^2-1|}{2\sqrt{2(AD^2-1)}}=\frac{\sqrt{AD^2-1}}{2\sqrt2}$$Подставляя $AD^2=5-4\cos127^\circ$, получаем $\varphi\approx26.5^\circ$.
Где здесь ошибаются
Найти тупой угол между направлениями диагоналей вместо острого угла между прямыми.
Забыть, что противоположные стороны параллелограмма равны: $AB=CD$.
Неправильно применить теорему косинусов к углу $127^\circ$.