Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 19^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим $AB=CD=a$, тогда $AC=2a$. Введём векторы $\vec u=\vec{AC}$ и $\vec d=\vec{AD}$. Так как $\angle ACD=19^\circ$, имеем
$$\vec u\cdot(\vec d-\vec u)=-|\vec u|\cdot|\vec d-\vec u|\cos19^\circ=-2a^2\cos19^\circ$$Следовательно, скалярное произведение векторов сторон равно
$$\vec u\cdot\vec d=4a^2-2a^2\cos19^\circ$$Вторая диагональ имеет направление $\vec{BD}=2\vec d-\vec u$. Из условия $|\vec u-\vec d|=a$ находим длину $\vec d$, а затем угол $\varphi$ между диагоналями:
$$\cos\varphi=\frac{\vec u\cdot(2\vec d-\vec u)}{|\vec u|\,|2\vec d-\vec u|}$$Подстановка $\cos19^\circ\approx0{,}9455$ даёт острый угол между диагоналями
$$\varphi\approx80{,}5^\circ$$Где здесь ошибаются
Путать угол $\angle ACD$ с углом между диагоналями.
Использовать только свойства параллелограмма без учёта соотношения $AC=2AB$.
Взять дополнительный угол вместо меньшего угла между диагоналями.