Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 139^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
5 шаговПоложим $|AB|=1$. Тогда $|AC|=2$. Так как $\angle ACD$ равен углу между диагональю $AC$ и стороной $AB$, угол между соответствующими векторами равен $139^\circ$.
$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \cos\angle(AC,AB)=\cos139^\circ$$Выразим вторую диагональ через векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$:
$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$Найдём скалярное произведение и длину второй диагонали:
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=4-4\cos139^\circ,\quad |BD|^2=8(1-\cos139^\circ)$$Если $\varphi$ — острый угол между диагоналями, то
$$\cos\varphi=\frac{4-4\cos139^\circ}{2\sqrt{8(1-\cos139^\circ)}}=\sqrt{\frac{1-\cos139^\circ}{2}}=\cos20{,}5^\circ$$Следовательно, угол между диагоналями равен $20{,}5^\circ$.
$$\varphi=20{,}5^\circ$$Где здесь ошибаются
Путают угол между диагоналями с дополнительным до него углом.
Неверно выражают вторую диагональ через векторы сторон.
Используют угол $139^\circ$ вместо соответствующего острого угла между диагоналями.