Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 111^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
5 шаговПусть $AB = 1$, тогда $AC = 2$. Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равен $111^\circ$.
$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \cos\angle(AB,AC)=\cos111^\circ$$Выразим диагональ $BD$: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$.
$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$Найдём скалярное произведение диагоналей.
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=|AC|^2-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=4-4\cos111^\circ$$Найдём длину второй диагонали и косинус угла между диагоналями.
$$|BD|^2=|AC-2AB|^2=8-8\cos111^\circ,\quad \cos\varphi=\frac{4-4\cos111^\circ}{2\sqrt{8-8\cos111^\circ}}$$Подстановка значения $\cos111^\circ$ даёт $\varphi\approx34{,}5^\circ$.
$$\varphi=34{,}5^\circ$$Где здесь ошибаются
Путать угол $\angle ACD$ с углом между сторонами $AB$ и $AC$ без учёта направлений векторов.
Использовать неверное выражение для диагонали $BD$.
Найти дополнительный угол вместо меньшего угла между диагоналями.