Найдите площадь ромба, если его высота равна 1, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin 30^\circ$$
- 2
Так как $h=1$ и $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, найдём сторону ромба:$$1 = a\cdot\frac{1}{2},\quad a=2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGH I$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $DAC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В правильном девятиугольнике центральный угол, опирающийся на одну сторону, равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
- 2
Угол $DAC$ является вписанным и опирается на дугу $DC$, поэтому он равен половине соответствующего центрального угла:$$\angle DAC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ$$
В угол с вершиной $C$, равный $57^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $AOCB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 57^\circ = 123^\circ$$
Стороны параллелограмма равны 10 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, проведённой к ней.$$S = 10 \cdot 6 = 60$$
- 2
Высота, проведённая к большей стороне, равна отношению площади к этой стороне.$$h = \dfrac{S}{12} = \dfrac{60}{12} = 5$$
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 55^\circ$, $\angle D = 137^\circ$. Найдите величину угла $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из равенств $AB = BC$ и $AD = CD$ следует, что четырёхугольник $ABCD$ является дельтоидом. Его противоположные углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle C + 55^\circ + 137^\circ = 360^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 20$, сторона $AB = \sqrt{109}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Поэтому половина диагонали $AC$ равна $10$.$$AO = \dfrac{AC}{2} = 10$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ известны гипотенуза $AB$ и катет $AO$. Найдём второй катет:$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{109 - 100} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 42$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 20. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$ к основанию является также медианой. Поэтому $KC = \dfrac{AC}{2} = 21$.$$KC = \frac{42}{2} = 21$$
- 2
Треугольник $BKC$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора найдём его гипотенузу $BC$.$$BC = \sqrt{BK^2 + KC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{841} = 29$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 15. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{5}{12}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника:$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём катет $AC$:$$\dfrac{5}{12}=\dfrac{15}{AC},\quad AC=\dfrac{15\cdot 12}{5}=36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 6$, а периметр параллелограмма равен 30.
- 1
Из формулы периметра параллелограмма найдём длину стороны $BC$:$$2(AB + BC) = 30$$
- 2
Подставим $AB = 6$:$$BC = 15 - 6 = 9$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания трапеции равны 9 и 17, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h=10\sin150^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5$$
- 2
Используем формулу площади трапеции как произведение полусуммы оснований на высоту.$$S=\frac{9+17}{2}\cdot5=13\cdot5=65$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию $AC$, равна 17. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, одновременно является биссектрисой угла при вершине $B$.$$∠ABK = \dfrac{∠ABC}{2} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, причём $AB$ — его гипотенуза, а $BK = 17$ — катет, прилежащий к углу $60^\circ$.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 96, боковая сторона равна 58. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции боковые стороны имеют одинаковые горизонтальные проекции. Каждая из них равна половине разности оснований:$$x = \dfrac{96 - 16}{2} = 40$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой трапеции и её горизонтальной проекцией. По теореме Пифагора найдём высоту:$$h = \sqrt{58^2 - 40^2} = \sqrt{1764} = 42$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 18^\circ$. Найдите угол $CMA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, угол $CMB$ вдвое больше угла $DMC$.$$\angle CMB = 2\angle DMC = 2\cdot18^\circ = 36^\circ$$
- 2
Точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому смежные углы $CMA$ и $CMB$ в сумме равны $180^\circ$.$$\angle CMA = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 59. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. Косинус угла $ABK$ равен отношению прилежащего катета $BK$ к гипотенузе $AB$.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 44^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому её мера вдвое больше угла.$$m(\overset{\frown}{DA}) = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, верхняя полуокружность $ADB$ имеет меру $180^\circ$. Найдём дугу $DB$.$$m(\overset{\frown}{DB}) = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 96, боковая сторона равна 58. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равнобедренной трапеции поровну распределяется по бокам. Горизонтальная проекция боковой стороны равна:$$x=\frac{96-16}{2}=40$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора:$$h=\sqrt{58^2-40^2}=\sqrt{3364-1600}=42$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна 12, а $\tg A = 2{,}4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{12}{2{,}4}=5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$, у которого $AB = 15$ и $AD = 23$, отмечена точка $E$ так, что треугольник $ABE$ равнобедренный. Найдите $ED$.
- 1
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна стороне $AD$, поэтому $BC = 23$. В треугольнике $ABE$ угол $ABE$ прямой, а треугольник равнобедренный, значит его равные стороны — катеты $AB$ и $BE$.$$BE = AB = 15$$
- 2
Найдём отрезок $EC$ на стороне $BC$:$$EC = BC - BE = 23 - 15 = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 24$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 5. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому $K$ — середина $AC$ и $KC=12$.$$KC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{24}{2}=12$$
- 2
Расположим точки в координатной плоскости: $K=(0,0)$, $C=(12,0)$, $B=(0,5)$. Так как $P$ — середина $BC$, её координаты равны:$$P\left(\dfrac{0+12}{2};\dfrac{5+0}{2}\right)=(6;2{,}5)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 16$. Найдите $BD$.
- 1
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем $\angle A = \angle C = 60^\circ$.$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
- 2
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, поэтому его диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам. Угол $B$ равен $120^\circ$, значит угол между стороной $AB$ и диагональю $BD$ равен $60^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении