Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 28, боковая сторона равна 17. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $28-12=16$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по краям, поэтому горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна:$$x=\dfrac{28-12}{2}=8$$
- 2
Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 17 и катетом 8:$$h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольной трапеции основания равны 5 и 9, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.
- 1
Разность оснований равна горизонтальному отрезку между концами наклонной боковой стороны:$$9 - 5 = 4$$
- 2
Смежный с углом $135^\circ$ угол равен $45^\circ$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$, поэтому его катеты равны. Меньшая боковая сторона — это высота трапеции, значит она равна разности…$$h = 9 - 5 = 4$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 44$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 8, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.
- 1
Опустим высоту из вершины меньшего основания. Горизонтальный отрезок в получившемся прямоугольном треугольнике равен разности оснований.$$8 - 3 = 5$$
- 2
Угол при наклонной боковой стороне равен $45^\circ$, так как он дополняет угол $135^\circ$ до $180^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 69, боковая сторона равна 50. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $69-41=28$, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $28:2=14$.$$x=\frac{69-41}{2}=14$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора.$$h=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2500-196}=48$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На окружности радиусом 10 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 11$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$AB = 2 \cdot 10 = 20$$
- 2
Угол $ACB$ прямой, так как он опирается на диаметр $AB$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника равна 360, а одна из сторон равна 9. Найдите диагональ этого прямоугольника.
- 1
Найдём вторую сторону прямоугольника по формуле площади:$$b = \dfrac{S}{a} = \dfrac{360}{9} = 40$$
- 2
Диагональ прямоугольника найдём по теореме Пифагора:$$d = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 34$, $AC = 32$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $\frac{AC}{2} = 16$.$$AM = MC = 16$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту $BM$:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{900} = 30$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 и 20. Найдите длину высоты, опущенной на гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы:$$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$$
- 2
Выразим площадь прямоугольного треугольника через катеты и через гипотенузу и высоту:$$\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25h}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 43$. Найдите $BD$.
- 1
В параллелограмме диагонали перпендикулярны, значит, этот параллелограмм является ромбом. Поэтому $AB = AD = 43$.
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны. Так как их сумма равна $120^\circ$, получаем:$$\angle A = \angle C = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 15$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AM=MC=7{,}5$.$$AM=MC=\frac{AC}{2}=7{,}5$$
- 2
Обозначим $AH=x$. Тогда $HM=7{,}5-x$, а $HC=15-x$.
Ещё 3 шага — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 63^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому дуга $DA$ вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{ADB} = 180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 36^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB$ — прямая, углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ являются смежными.$$\angle CMB = 180^\circ - \angle CMA$$
- 2
Находим величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $23$. Найдите периметр ромба.
- 1
Противоположные углы ромба равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, являются тупыми и равны по $120^\circ$. Два других угла равны по $60^\circ$.$$360^\circ - 240^\circ = 120^\circ; \quad 120^\circ : 2 = 60^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. В треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и меньшей диагональю, углы при вершинах ромба равны $60^\circ$, поэтому треугольник равносторонний. Следовательно, сторона ромба…$$a = 23$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 5$, медиана $BM = 3$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Так как $ABC$ — равнобедренный треугольник, медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM = MC,\quad BM \perp AC$$
- 2
По теореме Пифагора найдём катет $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 12$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{13}}{6}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Пусть $BH$ — высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $AH = HC = 6$.$$AH = \dfrac{AC}{2} = 6$$
- 2
Из определения тангенса угла $A$ найдём высоту $BH$.$$\tg \angle BAC = \dfrac{BH}{AH},\quad BH = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{6} = \sqrt{13}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 25$, $\sin A = \frac{7}{25}$. Найдите длину стороны $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса угла $A$ найдём катет $BC$.$$\sin A = \frac{BC}{AB},\quad BC = 25 \cdot \frac{7}{25} = 7$$
- 2
По теореме Пифагора найдём длину катета $AC$.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$$
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 12^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 3. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшая дуга соответствует центральному углу $12^\circ$, то есть составляет $\dfrac{12}{360}$ длины окружности.$$l_{\text{меньш.}} = \dfrac{12}{360}C$$
- 2
Так как длина меньшей дуги равна 3, найдём длину окружности.$$C = 3 \cdot \dfrac{360}{12} = 90$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $60^\circ$, а его периметр равен 48. Найдите меньшую диагональ ромба.
- 1
Найдём сторону ромба по периметру:$$a=\dfrac{48}{4}=12$$
- 2
Сумма двух равных острых углов равна $60^\circ$, поэтому каждый из них равен $30^\circ$.$$\alpha=\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 2\sqrt{51}$, диагональ $BD = 14$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике с катетами $\dfrac{AC}{2}=\sqrt{51}$ и $\dfrac{BD}{2}=7$ гипотенуза равна стороне ромба $AB$.$$AB=\sqrt{(\sqrt{51})^2+7^2}=\sqrt{51+49}=10$$
- 2
В треугольнике $ABC$ сторона $BD/2$ является высотой к диагонали $AC$, поэтому для угла $BAC$ противолежащий катет равен $7$.$$\sin\angle BAC=\frac{7}{10}=0.7$$