12
Решение: Медиана и высота треугольника
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИ9CCBA5Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 56$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Поэтому $AM=MC=28$.
$$AM=MC=\frac{AC}{2}=28$$2
Расположим основание $AC$ на координатной оси: $A(0,0)$, $C(56,0)$, $M(28,0)$, а $B(x,y)$. Поскольку $BH$ — высота, точка $H$ имеет координаты $(x,0)$.
3
Используем условие $BC=BM$ и приравняем квадраты длин этих отрезков.
$$(x-56)^2+y^2=(x-28)^2+y^2$$После сокращения получаем $x=42$. Координата точки $H$ равна $42$, значит длина отрезка $AH$ также равна $42$.
$$AH=x=42$$Ответ
42
42
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Путать медиану $BM$ с высотой и считать, что $M=H$.
Забывать, что $M$ — середина отрезка $AC$.
Приравнивать длины без учёта координат точек $C$ и $M$.