Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 1^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
4 шагаПоскольку $CD \parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $1^\circ$. Обозначим $|AB|=a$, тогда $|AC|=2a$.
$$\angle(\vec u,\vec v)=1^\circ,\quad |\vec u|=2a,\quad |\vec v|=a$$Пусть $\vec u=\overrightarrow{AC}$, $\vec v=\overrightarrow{AB}$. Тогда $\overrightarrow{AD}=\vec u-\vec v$, поэтому для второй диагонали получаем $\overrightarrow{BD}=\vec u-2\vec v$.
$$\overrightarrow{BD}=\vec u-2\vec v$$Выберем направление $\vec u$ за ось. Тогда компоненты вектора $\overrightarrow{BD}$ равны $2a(1-\cos 1^\circ)$ вдоль $\vec u$ и $-2a\sin 1^\circ$ перпендикулярно ему.
$$\tan\varphi=\frac{\sin 1^\circ}{1-\cos 1^\circ}=\cot 0.5^\circ$$Следовательно, острый угол между диагоналями равен $90^\circ-0.5^\circ=89.5^\circ$.
$$\varphi=89.5^\circ$$Где здесь ошибаются
Принять угол $\angle ACD$ за угол между диагоналями.
Забыть, что $CD \parallel AB$.
Взять дополнительный угол вместо острого угла между диагоналями.