В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{4}{7}$, $BC = 42$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащей, а $BC$ — прилежащей.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 42 \cdot \dfrac{4}{7} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB=16$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ являются смежными с внешними углами, поэтому каждый из них равен $30^\circ$.$$\angle A=\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
- 2
Углы $A$ и $C$ равны, значит, треугольник равнобедренный: $AB=BC=16$. Тогда угол при вершине $B$ равен $120^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 12. Гипотенуза равна 13. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём меньший катет:$$b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Наименьшая средняя линия соответствует меньшему катету:$$m = \dfrac{5}{2} = 2.5$$
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $52^\circ$, угол $ABC$ равен $13^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AL$ — биссектриса угла $A$, обозначим каждую половину угла $A$ через $x$. Угол $ACB$ обозначим через $y$.$$\angle BAL = \angle LAC = x,\quad \angle ACB = y$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ALC$ и применим теорему о сумме углов треугольника.$$x + y + 52^\circ = 180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла 3, если $\angle 1 = 74^\circ$, $\angle 2 = 39^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, углы наклона двух пересекающих их прямых к горизонтальному направлению равны $74^\circ$ и $39^\circ$.
- 2
Углы $74^\circ$, $39^\circ$ и угол 3 образуют развернутый угол.$$74^\circ + \angle 3 + 39^\circ = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 2\sqrt{15}$, диагональ $BD = 2$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = \sqrt{15}$ и $BO = 1$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора.$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{15 + 1} = 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $133^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $B$ в сумме дают $180^\circ$.$$B = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $A = B = 47^\circ$.$$A = B$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 133^\circ$, $\angle 2 = 43^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $m \parallel n$, угол между первой наклонной прямой и горизонтальным направлением равен$$180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$$
- 2
Вторая наклонная прямая образует с параллельными прямыми угол $43^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 38^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому величина этой дуги вдвое больше угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot 38^\circ=76^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{ADB}=180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $400$, сторона $BC = 50$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $CD$:$$CD = \dfrac{S_{ABCD}}{BC} = \dfrac{400}{50} = 8$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD = BC = 50$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 15$, $\sin A = 0{,}6$. Найдите длину стороны $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса угла $A$ найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 15 \cdot 0{,}6 = 9$$
- 2
По теореме Пифагора найдём катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$$
Обе диагонали параллелограмма равны 25. Одна из сторон параллелограмма равна 24. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.
- 2
Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$b^2 + 24^2 = 25^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 35$, площадь ромба равна 490. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Найдём диагональ $BD$:$$490 = \dfrac{35 \cdot BD}{2}$$
- 2
Отсюда $BD = 28$. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = 17{,}5$, а $BO = 14$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 25$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Используем определение синуса.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 5$, $BC = 4$, а её площадь равна 81. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. По формуле площади трапеции:$$81 = \dfrac{5+4}{2}h$$
- 2
Находим высоту:$$h = \dfrac{162}{9} = 18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 32^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $CMA$ и $CMB$ являются смежными, так как лучи $MA$ и $MB$ — противоположные.$$\angle CMA + \angle CMB = 180^\circ$$
- 2
Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120°$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $28$. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120°}{2} = 60°$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой.$$\cos 60° = \dfrac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 36. Тангенс угла $A$ равен 2,4. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Для угла $A$ тангенс равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину неизвестной стороны.$$2{,}4 = \dfrac{36}{AC},\quad AC = \dfrac{36}{2{,}4} = 15$$
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $15$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Если медиана из вершины одновременно является биссектрисой, то стороны, прилежащие к этой вершине, равны. Следовательно, $AB=BC$, а треугольник $ABC$ равнобедренный.$$AB=BC$$
- 2
Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, поэтому угол $ABM$ равен $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, значит треугольник $ABM$ прямоугольный.$$\angle ABM=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ,\quad \angle AMB=90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 24$. Найдите $BD$.
- 1
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, поэтому $AB = AD = 24$.
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle A = \angle C = 60^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении