В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{12}$, $BC = 36$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащей, а $BC$ — прилежащей.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$:$$AC = BC \cdot \tg B = 36 \cdot \dfrac{5}{12} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 20$, $\sin A = 0{,}1$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{20}{0{,}1} = 200$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=4:7$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
- 1
Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол при вершине $B$. Их площади относятся как произведение отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
- 2
Подставим данные из условия:$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{7}=\frac{2}{7}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $AC = 12$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16$$
- 2
Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, а гипотенуза — $AB$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{16}{20} = 0{,}8$$
Найдите площадь ромба, если его высота равна 23, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{23}{1/2} = 46$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $360$, сторона $BC = 40$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Из формулы площади прямоугольника найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{BC} = \dfrac{360}{40} = 9$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $CD$ равна $AB$, поэтому $CD = 9$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{9}{40}$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $968$, сторона $BC = 55$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $BC = AD = 55$, найдём длину стороны $AB$:$$AB = \dfrac{968}{55} = \dfrac{88}{5}$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет равен $CD = AB$, а прилежащий катет равен $AD = 55$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{88/5}{55} = \dfrac{8}{25}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона ромба равна 34, одна из его диагоналей равна 60. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина известной диагонали равна $60 : 2 = 30$. Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.$$x^2 + 30^2 = 34^2$$
- 2
Найдём половину второй диагонали:$$x = \sqrt{34^2 - 30^2} = \sqrt{1156 - 900} = 16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 6$, $BC = 3$, а её площадь равна 27. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Найдём высоту трапеции по формуле её площади.$$27 = \dfrac{6 + 3}{2} \cdot h$$
- 2
Отсюда высота трапеции равна:$$h = \dfrac{54}{9} = 6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $140^\circ$, угол $ABC$ равен $123^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим искомый угол $\angle ACB$ через $x$, а угол $BAC$ — через $\alpha$.
- 2
В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$:$$\alpha + 123^\circ + x = 180^\circ,\quad \alpha+x=57^\circ$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48 и 64. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому их половины равны 24 и 32.
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 35$, $AC = 56$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $AC/2 = 56/2 = 28$. Половина диагонали $BD$ равна $BD/2$.$$\frac{AC}{2}=28$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен 68. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна:$$a = \frac{68}{4} = 17$$
- 2
Сумма двух углов равна $120^\circ$, значит это два угла по $60^\circ$. Меньшая диагональ ромба образует с двумя сторонами равносторонний треугольник, поэтому она равна стороне ромба.$$d_{\text{меньш}} = a = 17$$
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 16$, сторона $AB = 2\sqrt{17}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому он равнобедренный. Высота $BH$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AH = \frac{AC}{2} = 8$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{17})^2 - 8^2} = \sqrt{68 - 64} = 2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 400, сторона $AB = 10$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$.$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{400}{10} = 40$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет равен $CD = AB = 10$, а прилежащий катет равен $AD = 40$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{10}{40} = 0{,}25$$
В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.
- 1
Опустим из вершины короткого основания перпендикуляр на большее основание. Получится прямоугольный треугольник, у которого горизонтальный катет равен разности оснований.$$5 - 3 = 2$$
- 2
Угол между наклонной боковой стороной и большим основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $140^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку $A$ и $B$ — точки касания.$$\angle CAO=\angle CBO=90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-140^\circ-90^\circ-90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120°$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 49. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза. Выразим косинус угла $ABK$ через стороны.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 12$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Найдём угол $A$ прямоугольного треугольника.$$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Окрашивать нужно только боковую поверхность трубы, так как торцы открыты и красить их не требуется.$$S = C \cdot l$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры:$$3\text{ м} = 300\text{ см}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении