Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 120, сторона $AB = 6$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AD$.$$AD = \dfrac{120}{6} = 20$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет равен $CD = AB = 6$, а прилежащий катет равен $AD = 20$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{6}{20} = 0{,}3$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $31$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании треугольника дополняет внешний угол до $180^\circ$:$$\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 10$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, $M$ — середина отрезка $AC$, поэтому $AM=MC=5$.
- 2
Обозначим $AH=x$. Тогда $HM=x-5$, а $HC=10-x$.
Ещё 3 шага — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 16$, сторона $AB = 10$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO=\dfrac{AC}{2}=8$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ гипотенуза $AB=10$. Найдём катет $BO$ по теореме Пифагора.$$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 12$, $\cos A = 0{,}25$. Найдите высоту $CH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Высота, проведённая к гипотенузе, выражается через площадь треугольника:$$CH = \dfrac{AC \cdot BC}{AB} = BC \cdot \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $40$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании смежен с внешним углом, поэтому он равен$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза.$$\sin 30^\circ = \frac{BM}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{24}$, $BC = 48$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = BC \cdot \tg B = 48 \cdot \dfrac{7}{24} = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 28$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катет прямоугольного треугольника равен 60, одна из средних линий равна 5,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому второй катет равен:$$b = 2 \cdot 5{,}5 = 11$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{60^2 + 11^2} = \sqrt{3600 + 121} = \sqrt{3721} = 61$$
В трапеции $ABCD$ известно, что основания $AD = 3$ и $BC = 2$, а её площадь равна 30. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Найдём высоту трапеции по формуле её площади:$$30 = \dfrac{3 + 2}{2} \cdot h$$
- 2
Отсюда высота трапеции равна:$$h = \dfrac{30 \cdot 2}{5} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 34$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Поэтому $AB = AD = 34$.
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle A = \angle C = 60^\circ$.$$\angle A = \angle C = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 37$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Лучевые отрезки $OA$ и $OB$ являются противоположными, поэтому углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна радиусу окружности.$$AC = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 7, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим известные значения и найдём сторону ромба:$$7 = a\sin 30^\circ = \frac{a}{2},\quad a = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 24. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Медиана, проведённая из вершины угла, одновременно являющаяся биссектрисой, делит противоположную сторону пополам и приводит к равенству боковых сторон:$$AB = BC$$
- 2
Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ является также высотой. Так как угол $B$ равен $120^\circ$, его половина равна $60^\circ$:$$\angle ABM = 60^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $150$, сторона $AB = 9$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AD$:$$AD = \dfrac{150}{9} = \dfrac{50}{3}$$
- 2
Диагональ $AC$ делит прямоугольник на прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD = AB = 9$, а прилежащий катет — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 36 и 72. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 54. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Вычислим площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 36 \cdot 54 = 1944$$
- 2
Для большей стороны высота равна отношению площади к длине этой стороны.$$h = \dfrac{1944}{72} = 27$$
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120°$, $AC = 34$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому угол $AOC$ является дополнительным к углу $COB$:$$\angle AOC = 180° - 120° = 60°$$
- 2
Длина хорды $AC$ через радиус окружности равна:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30° = R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 12$. Найдите $BD$.
- 1
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle A = \angle C$. Из условия получаем:$$\angle A + \angle C = 120^\circ,\quad \angle A = \angle C = 60^\circ$$
- 2
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB = 12$ угол напротив половины диагонали равен $30^\circ$.$$\frac{BD}{2} = AB \cdot \sin 30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $146^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$
- 2
Так как стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle B = 34^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 50$, $AC = 28$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как $AB = BC$, высота делит основание пополам:$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 14$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2304} = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении