12
Решение: Длина отрезка AH
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИA28DE7Короткий ответ≈ 4 минутыРазбор в 5 шаговОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 27$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
5 шагов1
Обозначим $AH=x$, $HC=y$. Так как $AC=27$, имеем:
$$x+y=27$$2
Точка $M$ — середина основания $AC$, поэтому расстояние от $H$ до $M$ равно:
$$HM=\frac{|x-y|}{2}$$3
По теореме Пифагора для треугольников $BHC$ и $BHM$ с учётом условия $BC=BM$:
$$BH^2+y^2=BH^2+\frac{(x-y)^2}{4}$$4
После сокращения и упрощения получаем:
$$4y^2=(x-y)^2$$Так как $x,y>0$, из геометрической конфигурации следует $x-y=-2y$, поэтому $x=3y$. Тогда:
$$3y+y=27,\quad y=6.75,\quad x=20.25$$Ответ
20.25
20.25
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что $M$ — середина отрезка $AC$.
Неверно выражают длину $HM$ через $AH$ и $HC$.
При извлечении квадратного корня выбирают неподходящий знак.