12
Решение: Биссектриса в треугольнике
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИAF35AAКороткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 14$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ являются смежными с внешними, поэтому каждый из них равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle B = 120^\circ$.
2
Так как углы $A$ и $C$ равны, стороны $AB$ и $BC$ равны. Значит, $AB = BC = 14$, а биссектриса $BK$ является также медианой и высотой.
3
По теореме косинусов найдём основание $AC$:
$$AC^2 = 14^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot 14 \cos 120^\circ = 588, \quad AC = 14\sqrt{3}$$Тогда $AK = \dfrac{AC}{2} = 7\sqrt{3}$. В прямоугольном треугольнике $ABK$:
$$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{14^2 - (7\sqrt{3})^2} = \sqrt{49} = 7$$Ответ
7
7
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Путать внешний угол с внутренним и принимать угол при вершине за $150^\circ$.
Не учитывать, что в равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины является также медианой и высотой.