Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $20{,}5$. Найдите $BC$, если $AC = 9$.
- 1
Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 20{,}5 = 41$$
- 2
Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный, и по теореме Пифагора:$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 41^2 - 9^2 = 1600$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 20. Найдите $BC$, если $AC = 32$.
- 1
Так как центр окружности лежит на стороне $AB$, отрезок $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 20 = 40$$
- 2
Угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса, поэтому в прямоугольном треугольнике $ABC$ применяем теорему Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса $18$.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r = 2 \cdot 18 = 36$$
- 2
Вычислим площадь квадрата.$$S = a^2 = 36^2 = 1296$$
Диагональ ромба равна 32, а его площадь равна 384. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
По формуле площади ромба найдём вторую диагональ:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 384}{32} = 24$$
- 2
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Найдём сторону ромба:$$a = \sqrt{\left(\dfrac{32}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Диагональ ромба равна 36, а его сторона равна 30. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина одной диагонали равна $18$.$$\frac{36}{2}=18$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину второй диагонали:$$x=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{576}=24$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому $d=5$.
- 2
Синус угла между стороной и диагональю равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Найдём одну из сторон:$$b=d\sin\alpha=5\cdot0{,}6=3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^\circ$. Найдите угол $ABO$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным в точках $A$ и $B$. Поэтому в четырёхугольнике, образованном радиусами и двумя отрезками касательных, сумма двух прямых углов равна $180^\circ$.
- 2
Центральный угол $AOB$ дополняет угол между касательными до $180^\circ$:$$\angle AOB = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона квадрата равна $16\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Найдём диагональ квадрата по формуле $d=a\sqrt{2}$.$$d=16\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=32$$
- 2
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности, поэтому радиус равен половине диагонали.$$R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{32}{2}=16$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $15$. Найдите $BC$, если $AC = 24$.
- 1
Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 15 = 30$$
- 2
Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 12$, $BC = 6$, $CD = 13$. Найдите $AD$.
- 1
В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$12 + 13 = 6 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $0{,}8$. Диаметр описанной около него окружности равен $10$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, поэтому диагональ равна $10$.$$d = 10$$
- 2
В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и его диагональю, синус угла равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Одна из сторон равна:$$a = d \cdot \sin \alpha = 10 \cdot 0{,}8 = 8$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AB = 18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Сторона $AB$ противоположна углу $C$, поэтому по теореме синусов для описанной окружности:$$AB = 2R\sin C$$
- 2
Подставим известные значения:$$18\sqrt{3} = 2R\sin 120^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $28\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 28\sqrt{2} = 56\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$. Поэтому длина стороны равна:$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{56\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 56$$
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
В трапецию можно вписать окружность, поэтому суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции это даёт$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем$$a+b+2c=40$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 34^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle NBA$ — вписанный, поэтому дуга $AN$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\widehat{AN}=2\cdot\angle NBA=2\cdot34^\circ=68^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью.$$\widehat{AN} + \widehat{NB}=180^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Диагональ ромба равна 16, а сторона ромба равна 10. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Половина данной диагонали ромба равна $8$. В прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали, высотой и стороной ромба, найдём высоту:$$h=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$
- 2
Площадь ромба равна произведению стороны на высоту:$$S=10\cdot6=60$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны и касаются вписанной окружности. Расстояние между ними равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 42 = 84$$
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. Известно, что $AB = 7$, $BC = 10$, $CD = 14$. Найдите $AD$.
- 1
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$7 + 14 = 10 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике расстояние от центра до стороны равно одной трети высоты.$$d=\frac{h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим известное расстояние до стороны и найдём сторону треугольника.$$\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих параллельных оснований трапеции. Поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 34 = 68$$