В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $25:24$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…
- 1
Пусть $H$ — основание высоты из вершины $B$, а $D$ — точка пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BD:DH=25:24$. Обозначим $BD=25x$, $DH=24x$. Тогда $BH=49x$.$$BH=BD+DH=25x+24x=49x$$
- 2
Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно $DH=24x$. Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, расстояние от $D$ до прямой $AB$ также равно $24x$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\dfrac{8}{17}$. Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому диагональ прямоугольника равна 17.$$d=17$$
- 2
Из определения синуса угла между стороной и диагональю найдём один из катетов прямоугольного треугольника:$$b=d\sin\alpha=17\cdot\dfrac{8}{17}=8$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $16\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 16\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$. Поэтому$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 32$$
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $4\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата.$$d = 2R$$
- 2
Диагональ квадрата выражается через его сторону.$$d = a\sqrt{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $67^\circ$ и $83^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $16$.
- 1
Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-67^\circ-83^\circ=30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $BC$, противолежащая углу $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$BC=2R\sin A$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $72^\circ$ и $78^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $17$.
- 1
Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-72^\circ-78^\circ=30^\circ$$
- 2
Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$. По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 12$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 8 и 6.
- 1
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $12 : 2 = 6$.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус:$$R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100,\quad R = 10$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Окружность касается обеих параллельных оснований трапеции, поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 16 = 32$$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $167^\circ$. Ответ дайте…
- 1
Так как точки $O$ и $C$ находятся в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $AOB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $2\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Используем формулу радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Выразим длину стороны треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности. Известно, что $AB = 14$, $BC = 8$, $CD = 12$. Найдите $AD$.
- 1
В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину основания $AD$.$$14 + 12 = 8 + AD$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $18\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.$$a=2r=2\cdot18\sqrt{2}=36\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d=a\sqrt{2}=36\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=72$$
Сторона квадрата равна 26. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Вписанная в квадрат окружность касается каждой его стороны, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$d = 26$$
- 2
Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$$
Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен стороне, делённой на $\sqrt{3}$.$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$$
Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16$$
Диагональ ромба равна 6, а его сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Половины диагоналей ромба и его сторона образуют прямоугольный треугольник. Найдём половину второй диагонали:$$\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$$
- 2
Тогда вторая диагональ равна 8, а площадь ромба равна:$$S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $17^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, поэтому $AB$ — диаметр окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
- 2
По теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой:$$\angle ACB=90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
Расстояние от центра $O$ до стороны равностороннего треугольника является радиусом его вписанной окружности.$$r = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Расстояние между двумя параллельными касательными равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставляем значение радиуса:$$h = 2 \cdot 18 = 36$$
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $59^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Основания трапеции параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние углы.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$$