Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $25:24$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=14$.
Решение по шагам
6 шаговПусть $H$ — основание высоты из вершины $B$, а $D$ — точка пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BD:DH=25:24$. Обозначим $BD=25x$, $DH=24x$. Тогда $BH=49x$.
$$BH=BD+DH=25x+24x=49x$$Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно $DH=24x$. Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, расстояние от $D$ до прямой $AB$ также равно $24x$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Из равенства расстояний до сторон угла и подобия соответствующих прямоугольных треугольников получаем отношение $AB:AH=25:24$. Следовательно, треугольник $ABH$ имеет отношение катетов и гипотенузы $7:24:25$.
$$BH:AH:AB=7:24:25$$Значит, отношение гипотенузы $AB$ к высоте $BH$ равно:
$$\frac{AB}{BH}=\frac{25}{7}$$Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через сторону $BC$ и высоту $AH$ к этой стороне, а также через сторону $AC$ и высоту $BH$. В сочетании с формулой площади через радиус описанной окружности получаем:
$$R=\frac{AB\cdot BC}{2BH}$$Подставим известные значения $BC=14$ и $\frac{AB}{BH}=\frac{25}{7}$:
$$R=\frac{AB}{BH}\cdot\frac{BC}{2}=\frac{25}{7}\cdot\frac{14}{2}=25$$Радиус описанной окружности равен 25.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно трактуют отношение $25:24$ и записывают $BH=25x+24x$ без учёта того, от какой точки считается отношение.
Используют формулу радиуса описанной окружности без вывода и получают неверный множитель 2.
Путают высоту из вершины $B$ с высотой к стороне $BC$.