Сторона квадрата равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 16$$
- 2
Радиус равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$$
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности. Известно, что $AB = 14$, $BC = 13$, $CD = 22$. Найдите $AD$.
- 1
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Выразим длину основания $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 14 + 22 - 13 = 23$$
Сторона квадрата равна 46. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 46$$
- 2
Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{46}{2} = 23$$
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $74^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOB = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
- 2
Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Вписанный угол равен половине центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{106^\circ}{2} = 53^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AB = 22\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов:$$\frac{AB}{\sin C}=2R$$
- 2
Подставим известные значения и учтём, что $\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$:$$\frac{22\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=2R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $92^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOB = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$$
- 2
Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла.$$\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{88^\circ}{2} = 44^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $30^\circ$, $AB = 16$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов:$$\frac{AB}{\sin C}=2R$$
- 2
Подставим известные значения:$$\frac{16}{\sin 30^\circ}=2R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $33^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный четырёхугольник имеет свойство: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 33^\circ = 147^\circ$$
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $3\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны через радиус и подставим значение радиуса:$$a = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 9$$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $47^\circ$. Ответ дайте в…
- 1
Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$, поскольку точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $82^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $A$ и $C$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $10\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата по заданному радиусу.$$a = 2 \cdot 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 43^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\overset{\frown}{NA} = 2 \cdot 43^\circ = 86^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуги $AN$ и $NB$ образуют полуокружность.$$\overset{\frown}{NB} = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна $32\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=64$$
- 2
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности, поэтому радиус равен половине диагонали.$$R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{64}{2}=32$$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $16\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.$$a=2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата по данному радиусу.$$a=2\cdot16\sqrt{2}=32\sqrt{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=16$.
- 1
Пусть $D$ — основание высоты из вершины $B$ на сторону $AC$, а $E$ — точка пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BE:ED=5:3$, поэтому $BE=\dfrac{5}{8}BD$, а расстояние от точки $E$ до прямой $AC$ равно…$$ED=\frac{3}{8}BD$$
- 2
Введём координаты: $D=(0,0)$, $B=(0,h)$, $A=(a,0)$, где $h=BD$. Тогда $E=\left(0,\dfrac{3h}{8}\right)$. Уравнение прямой $AB$: $hx+ay-ah=0$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $10\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны и подставим значение радиуса:$$a = R\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 30$$
Сторона квадрата равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 6$$
- 2
Радиус равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 26 = 52$$
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 9.
- 1
В квадрат, описанный около окружности, окружность вписана. Поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r = 2 \cdot 9 = 18$$
- 2
Вычислим площадь квадрата.$$S = a^2 = 18^2 = 324$$