Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=16$.
Решение по шагам
6 шаговПусть $D$ — основание высоты из вершины $B$ на сторону $AC$, а $E$ — точка пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BE:ED=5:3$, поэтому $BE=\dfrac{5}{8}BD$, а расстояние от точки $E$ до прямой $AC$ равно $ED=\dfrac{3}{8}BD$.
$$ED=\frac{3}{8}BD$$Введём координаты: $D=(0,0)$, $B=(0,h)$, $A=(a,0)$, где $h=BD$. Тогда $E=\left(0,\dfrac{3h}{8}\right)$. Уравнение прямой $AB$: $hx+ay-ah=0$.
Расстояние от точки $E$ до прямой $AB$ равно $\dfrac{5ah}{8\sqrt{a^2+h^2}}$, а расстояние от $E$ до прямой $AC$ равно $\dfrac{3h}{8}$. Поскольку $AE$ — биссектриса, эти расстояния равны.
$$\frac{5ah}{8\sqrt{a^2+h^2}}=\frac{3h}{8}$$После сокращения получаем $\sqrt{a^2+h^2}=\dfrac{5a}{3}$. Следовательно, $AB=\dfrac{5a}{3}$ и $h=\dfrac{4a}{3}$, то есть $\dfrac{AB}{h}=\dfrac{5}{4}$.
Площадь треугольника равна $S=\dfrac{1}{2}AC\cdot h$. По формуле радиуса описанной окружности $R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}$ после сокращения $AC$ имеем $R=\dfrac{AB\cdot BC}{2h}$.
$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\frac{AB\cdot BC}{2h}$$Подставляем $\dfrac{AB}{h}=\dfrac{5}{4}$ и $BC=16$.
$$R=\frac{5}{4}\cdot\frac{16}{2}=10$$Радиус описанной окружности равен $10$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно истолковать отношение $5:3$ и принять $ED=\dfrac{5}{8}BD$ вместо $BE=\dfrac{5}{8}BD$.
Использовать свойство биссектрисы как свойство медианы и ошибочно делить сторону $BC$ в отношении $5:3$.
Забыть множитель $4$ в формуле $R=\dfrac{abc}{4S}$.