Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $4\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим известное значение радиуса и найдём сторону треугольника:$$4\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $22\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диаметр окружности, описанной около квадрата, равен диагонали квадрата.$$d = 2R = 2 \cdot 22\sqrt{2} = 44\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Поэтому$$a\sqrt{2} = 44\sqrt{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $53^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником.
- 2
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $17:15$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…
- 1
Пусть $H$ — основание высоты $BH$, а $E$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$. Введём координаты: $H=(0,0)$, $B=(0,h)$, $A=(-x,0)$, где $h=BH$.
- 2
Тогда $AB=\sqrt{x^2+h^2}$. Направление биссектрисы угла $A$ является суммой единичных направляющих векторов лучей $AB$ и $AC$. Поэтому при пересечении с прямой $BH$ высота точки $E$ над основанием равна $\dfrac{hx}{AB+x}$. Следовательно…$$BE:EH=AB:x$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $61^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому она является вписанным четырёхугольником.
- 2
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $78^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $A$ и $C$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$A + C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$C = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$$
Сторона равностороннего треугольника равна $18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен стороне, делённой на $\sqrt{3}$.$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника.$$R = \dfrac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18$$
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $41:40$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…
- 1
Обозначим через $H$ основание высоты из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения высоты $BH$ с биссектрисой угла $A$. Пусть $\angle BAD=\angle DAC=\alpha$. Тогда $\angle BAC=2\alpha$.
- 2
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $BH$ и биссектрисой угла $A$. Из соотношений между их сторонами получаем:$$\frac{BD}{DH}=\frac{1}{2\cos^3\alpha-1}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $2\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим сторону треугольника и подставим значение радиуса:$$a = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 6$$
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 44^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle NBA$ — вписанный, поэтому дуга $NA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{NA}=2\angle NBA=2\cdot44^\circ=88^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{NB}=180^\circ-88^\circ=92^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $4\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата по заданному радиусу.$$a = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $10$. Найдите $BC$, если $AC = 16$.
- 1
Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$$
- 2
Угол $ACB$, опирающийся на диаметр, прямой. Применим теорему Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 10$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 5.
- 1
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Для хорды $AB$ половина хорды равна $5$, а расстояние от центра до неё равно $12$.$$R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$
- 2
Следовательно, радиус окружности равен 13.$$R = 13$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 16$, $BC = 12$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Треугольник $ABC$ прямоугольный, так как угол $C$ равен $90^\circ$. Найдём его гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20$$
- 2
В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.$$R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 25. Найдите $AC$, если $BC = 48$.
- 1
Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит, $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 25 = 50$$
- 2
Угол $ACB$, опирающийся на диаметр, прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $7\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается через сторону формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Выразим длину стороны треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $33^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина равна:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot38^\circ=76^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot33^\circ=66^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $39°$, угол $CAD$ равен $55°$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга $AD$, на которую опирается угол $ABD$, равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot 39°=78°$$
- 2
Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot 55°=110°$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, равен:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$$
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 18$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 9.
- 1
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Для хорды $AB$ половина хорды равна $AB/2 = 9$.$$\left(\frac{AB}{2}\right)^2 + 12^2 = R^2$$
- 2
Найдём радиус окружности по теореме Пифагора.$$R^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225,\quad R = 15$$
Ещё 2 шага — в полном решении