Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $17:15$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=16$.
Решение по шагам
7 шаговПусть $H$ — основание высоты $BH$, а $E$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$. Введём координаты: $H=(0,0)$, $B=(0,h)$, $A=(-x,0)$, где $h=BH$.
Тогда $AB=\sqrt{x^2+h^2}$. Направление биссектрисы угла $A$ является суммой единичных направляющих векторов лучей $AB$ и $AC$. Поэтому при пересечении с прямой $BH$ высота точки $E$ над основанием равна $\dfrac{hx}{AB+x}$. Следовательно, $BE=\dfrac{h\cdot AB}{AB+x}$, а $EH=\dfrac{h\cdot x}{AB+x}$.
$$BE:EH=AB:x$$По условию $BE:EH=17:15$, поэтому $AB:x=17:15$. Отсюда $AB=\dfrac{17}{15}x$.
$$x^2+h^2=\left(\frac{17x}{15}\right)^2$$Находим отношение высоты к горизонтальной проекции стороны $AB$:
$$h^2=\left(\frac{17^2-15^2}{15^2}\right)x^2=\frac{64}{225}x^2,\qquad h=\frac{8}{15}x$$Таким образом, $AB:h=17:8$. Площадь треугольника можно выразить через основание $AC$ и высоту $BH$:
$$S=\frac12 AC\cdot h$$Используем формулу радиуса описанной окружности $R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}$. После подстановки площади длина $AC$ сокращается:
$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4\cdot\frac12 AC\cdot h}=\frac{AB\cdot BC}{2h}$$Так как $BC=16$ и $AB:h=17:8$, получаем:
$$R=\frac{17}{8}\cdot\frac{16}{2}=17$$17
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно трактуют отношение $17:15$ и получают отношение $BE:EH$ в обратном порядке.
Забывают, что площадь треугольника равна $\frac12 AC\cdot BH$.
Ошибочно используют формулу $R=\frac{abc}{2S}$ вместо $R=\frac{abc}{4S}$.