Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $41:40$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=18$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $H$ основание высоты из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения высоты $BH$ с биссектрисой угла $A$. Пусть $\angle BAD=\angle DAC=\alpha$. Тогда $\angle BAC=2\alpha$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $BH$ и биссектрисой угла $A$. Из соотношений между их сторонами получаем:
$$\frac{BD}{DH}=\frac{1}{2\cos^3\alpha-1}$$По условию $BD:DH=41:40$, поэтому:
$$\frac{41}{40}=\frac{1}{2\cos^3\alpha-1}$$Решаем уравнение относительно $\cos\alpha$:
$$2\cos^3\alpha-1=\frac{40}{41},\qquad \cos^3\alpha=\frac{81}{82}$$Следовательно, $\cos\alpha=\sqrt[3]{\frac{81}{82}}$. Тогда:
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\sqrt[3]{\frac{81}{82}}\sqrt{1-\sqrt[3]{\frac{6561}{6724}}}$$Радиус описанной окружности треугольника определяется формулой $R=\dfrac{BC}{2\sin\angle BAC}$. Подставляем $BC=18$ и $\angle BAC=2\alpha$:
$$R=\frac{18}{2\sin 2\alpha}=\frac{9}{2\sqrt[3]{\frac{81}{82}}\sqrt{1-\sqrt[3]{\frac{6561}{6724}}}}\approx 50{,}1$$R=\dfrac{9}{2\sqrt[3]{\frac{81}{82}}\sqrt{1-\sqrt[3]{\frac{6561}{6724}}}}\approx 50{,}1
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать отношение $BD:DH$ с отношением $BD:BH$.
Использовать в формуле радиуса угол $\alpha$ вместо полного угла $BAC=2\alpha$.
Забывать, что $R=\dfrac{a}{2\sin A}$, где $a$ — сторона, лежащая напротив угла $A$.