Решение: Расстояние до основания трапеции
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
7 шаговВ трапецию можно вписать окружность, поэтому суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции это даёт
$$a+b=2c$$Из условия о периметре получаем
$$a+b+2c=40$$Следовательно, $a+b=20$ и $c=10$.
По формуле площади трапеции найдём высоту:
$$S=\frac{(a+b)h}{2},\quad 80=\frac{20h}{2},\quad h=8$$Опустим высоты из концов меньшего основания. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $10$ и катетом $8$. Его второй катет равен
$$x=\sqrt{10^2-8^2}=6$$Поэтому разность оснований равна $2x=12$. Если большее основание равно $a$, а меньшее — $b$, то
$$a+b=20,\quad a-b=12,\quad a=16,\quad b=4$$Точка пересечения диагоналей делит диагональ так, что её расстояние от большего основания равно $\dfrac{ah}{a+b}$. Поэтому расстояние от этой точки до меньшего основания равно
$$h-\frac{ah}{a+b}=8-\frac{16\cdot 8}{20}=\frac{8}{5}$$Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно $\frac{8}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют свойство трапеции, в которую можно вписать окружность.
Путают высоту трапеции с расстоянием от точки пересечения диагоналей до основания.
Используют отношение диагоналей вместо отношения отрезков, на которые точка пересечения делит диагональ.