Профильная математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Пусть платежи в 2027 и 2028 годах равны $x$ тыс. рублей, а платеж в 2029 году равен $y$ тыс. рублей.

В январе 2027 года долг увеличится на 30 %: $900\cdot1{,}3=1170$ тыс. рублей. После платежа $x$ долг составит $1170-x$ тыс. рублей.

Кредит должен быть погашен за 72 месяца, поэтому долг на 15-е число каждого следующего месяца уменьшается на одну и ту же величину:$$d = \frac{18\,000\,000}{72} = 250\,000$$

Обозначим через $D_k$ долг на 15-е число через $k$ месяцев после получения кредита. Тогда:$$D_k = 18\,000\,000 - 250\,000k$$

Обозначим через $D_k$ сумму долга в тысячах рублей на 15-е число $k$-го месяца после получения кредита. Тогда $D_0=600$, $D_n=200$, а величины $D_1, D_2, \ldots, D_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Пусть разность этой прогрессии равна $-a$. Из условия $D_n=200$ получаем:$$600-na=200,\quad na=400$$

Обозначим через $x$ платёж в 2027 и 2028 годах в тысячах рублей. В январе 2027 года долг увеличится на 20 %:$$800\cdot 1{,}2=960$$

После платежа $x$ в 2027 году остаток долга составит:$$960-x$$

В июле 2026 года долг составляет 1260 тыс. рублей. После начисления 10 % в январе каждого года долг становится равным$$1260 \cdot 1{,}1 = 1386$$

В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг должен составлять 1260 тыс. рублей. Поэтому каждый из первых трёх платежей равен$$1386-1260=126$$

Так как в июле 2029 и 2030 годов долг уменьшается на 70%, каждый раз остаётся 30% долга предыдущего июля. Поэтому суммы долга в июле составляют соответственно $6000$, $1800$, $540$ и $0$ тыс. рублей.$$D_0=6000,\quad D_1=0{,}3D_0=1800,\quad D_2=0{,}3D_1=540,\quad D_3=0$$

Обозначим коэффициент январского увеличения долга через $q=1+\dfrac{r}{100}$. Первый платёж равен долгу после увеличения за январь 2029 года минус долг, оставшийся к июлю 2029 года.$$P_1=6000q-1800$$

Обозначим через $D_n$ долг на 15-е число $n$-го месяца. По условию $D_1=1100$, $D_{31}=0$, а разность арифметической прогрессии $D_1,D_2,\ldots,D_{31}$ постоянна.

Если на 15-е число $n$-го месяца долг равен $D_n$, то 1-го числа следующего месяца он становится равным $1{,}02D_n$. После выплаты долг равен $D_{n+1}$, поэтому выплата составляет $P_n=1{,}02D_n-D_{n+1}$.

Обозначим через $D_i$ долг в июле года $2025+i$, измеряемый в тысячах рублей. Тогда $D_0=500$, а $D_{10}=0$. Пусть в первые пять лет долг уменьшается на $a$, а в следующие пять лет — на $b$.$$D_i=500-ia\quad (i=1,\ldots,5)$$

После первых пяти уменьшений долг равен $D_5=500-5a$. За следующие пять лет он уменьшается до нуля, поэтому $D_5=5b$. Следовательно, $b=100-a$.$$500-5a=5b$$

Обозначим через $d$ ежегодное уменьшение долга в первой пятилетке, а через $D_{2025}$ долг в июле 2025 года. Тогда долги в июле 2026–2030 годов равны:$$D_{2026}=500+4d,\ D_{2027}=500+3d,\ D_{2028}=500+2d,\ D_{2029}=500+d,\ D_{2030}=500$$

Во второй пятилетке долг уменьшается до нуля за пять лет, поэтому ежегодное уменьшение равно $100$ тыс. рублей. Долги в июле 2031–2035 годов составляют $400$, $300$, $200$, $100$ и $0$ тыс. рублей.$$D_{2031}=400,\ D_{2032}=300,\ D_{2033}=200,\ D_{2034}=100,\ D_{2035}=0$$

Обозначим через $D_i$ долг в июле $2025+i$ года. Тогда $D_0=1300$, а $D_{10}=0$. Платёж за очередной год равен разнице между долгом после январского увеличения и долгом в июле:$$P_i=1{,}2D_{i-1}-D_i$$

Суммируя все платежи за десять лет, получаем:$$\sum_{i=1}^{10}P_i=1{,}2D_0+0{,}2\sum_{i=1}^{9}D_i-D_{10}$$

Пусть платёж в 2027 и 2028 годах равен $x$ тыс. рублей. В январе 2027 года долг увеличится с 800 до $800\cdot1{,}1=880$ тыс. рублей. После платежа 2027 года останется $880-x$ тыс. рублей.$$D_{2027}=880-x$$

В январе 2028 года долг увеличится в $1{,}1$ раза, после чего будет внесён платёж $x$ тыс. рублей.$$D_{2028}=1{,}1(880-x)-x=968-2{,}1x$$

Пусть величина кредита равна $1$. Обозначим $q = \dfrac{r}{100}$. После начисления процентов долг увеличивается в $1+q$ раз.$$q=\dfrac{r}{100}$$

Первый платёж производится после начисления процентов на долг, равный $1$. Поэтому первый платёж составляет $1(1+q)-0{,}8$.$$P_1=0{,}2+q$$

Обозначим размер каждого из четырёх равных платежей через $x$. Каждый январь долг увеличивается в $1{,}25$ раза.$$a=1{,}25=\frac{5}{4}$$

После первого платежа долг равен $177120a-x$. После четырёх лет долг должен быть равен нулю:$$177120a^4-x(a^3+a^2+a+1)=0$$

Обозначим через $D_k$ долг на 15-е число $k$-го месяца. По условию $D_{21}=0$, а каждый месяц долг уменьшается на 30 тысяч рублей:$$D_{k+1}=D_k-30$$

За 20 переходов долг уменьшается на $20\cdot 30=600$ тысяч рублей. Поэтому начальная сумма кредита равна:$$D_1=20\cdot 30=600$$

Обозначим через $D_k$ долг на 15-е число $k$-го месяца, измеряемый в тысячах рублей. Пусть $D_0$ — первоначальная сумма кредита.

В первые 10 месяцев долг уменьшается на 80 тысяч рублей:$$D_k=D_{k-1}-80$$

Обозначим размер платежа в 2027 и 2028 годах через $x$ тыс. рублей. В июле 2026 года долг равен 900 тыс. рублей, поэтому после увеличения на 20 % в январе 2027 года он станет равен:$$900\cdot 1{,}2=1080$$

После платежа в 2027 году остаток долга составит:$$1080-x$$

Если ценные бумаги продать в конце года $t$, то на счёт будет внесено $t^2$ тыс. рублей. До конца двадцатого года деньги будут находиться на счёте $20-t$ лет.$$S_t=t^2\cdot 1{,}25^{20-t}$$

Сравним соседние значения суммы.$$\frac{S_{t+1}}{S_t}=\frac{(t+1)^2\cdot 1{,}25^{19-t}}{t^2\cdot 1{,}25^{20-t}}=\frac{(t+1)^2}{1{,}25t^2}$$

В начале каждого года долг увеличивается на 20%, поэтому после начисления процентов долг, равный 825 тыс. рублей, становится равным$$825 \cdot 1{,}2 = 990$$

В 2027, 2028 и 2029 годах к июлю долг снова должен составлять 825 тыс. рублей. Поэтому каждая выплата в эти годы равна$$990-825=165$$

Общая сумма выплат составляет 375 000 рублей, а платежи равные и их четыре. Поэтому размер одного платежа равен:$$a=\frac{375\,000}{4}=93\,750$$

Пусть первоначальная сумма кредита равна $S$. Каждый январь долг умножается на $1{,}25$. К моменту четвёртого платежа первоначальная сумма увеличится в $1{,}25^4$ раз.

Пусть $S$ рублей — сумма кредита, а $P$ рублей — размер каждого из трёх равных платежей. После первого начисления процентов и платежа долг составит $1{,}1S-P$.$$D_1=1{,}1S-P$$

После второго года долг составит $1{,}1D_1-P$, а после третьего начисления процентов и последнего платежа он станет равен нулю.$$1{,}1(1{,}1(1{,}1S-P)-P)-P=0$$