Решение: Кредит с поэтапным погашением
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 500 тыс. рублей. Каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года, а с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга. В июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. В июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. К июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей по кредиту равна 1250 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $D_i$ долг в июле года $2025+i$, измеряемый в тысячах рублей. Тогда $D_0=500$, а $D_{10}=0$. Пусть в первые пять лет долг уменьшается на $a$, а в следующие пять лет — на $b$.
$$D_i=500-ia\quad (i=1,\ldots,5)$$После первых пяти уменьшений долг равен $D_5=500-5a$. За следующие пять лет он уменьшается до нуля, поэтому $D_5=5b$. Следовательно, $b=100-a$.
$$500-5a=5b$$Долги в июле имеют вид $D_0,\ldots,D_5=500,500-a,500-2a,\ldots,500-5a$, а затем $D_6=4b$, $D_7=3b$, $D_8=2b$, $D_9=b$, $D_{10}=0$.
$$\sum_{i=0}^{9}D_i=4000-25a,\qquad \sum_{i=1}^{10}D_i=3500-25a$$В начале каждого года долг увеличивается в $1{,}3$ раза. Поэтому платёж за год с номером $i$ равен $1{,}3D_{i-1}-D_i$. Сумма всех платежей равна 1250 тыс. рублей.
$$1{,}3\sum_{i=0}^{9}D_i-\sum_{i=1}^{10}D_i=1250$$Подставим найденные суммы и определим $a$.
$$1{,}3(4000-25a)-(3500-25a)=1250;\quad 1700-7{,}5a=1250;\quad a=60$$Тогда $b=100-60=40$, а долг в июле 2034 года равен $D_9=b=40$ тыс. рублей. В январе 2035 года он возрастает на 30 %, поэтому платёж в 2035 году равен $1{,}3\cdot40=52$ тыс. рублей.
$$P_{2035}=1{,}3D_9-D_{10}=1{,}3\cdot40=52$$52 000 рублей
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга на 30 % перед ежегодным платежом.
Считать, что суммы уменьшения долга равны платежам.
Перепутать долг в июле 2034 года с долгом после январского увеличения 2035 года.
Не перевести итог из тысяч рублей в рубли.