Профильная математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обозначим сумму кредита через $S$, а размер каждого из трёх равных платежей — через $P$.

К моменту первого платежа долг увеличится на 20 %, поэтому после первого платежа остаток долга составит $1{,}2S-P$.

Обозначим сумму кредита через $S$, а размер каждого из трёх равных платежей — через $x$. Коэффициент увеличения долга за год равен $1{,}25=\dfrac{5}{4}$.$$q=\frac{5}{4}$$

Перед первым платежом долг равен $\frac{5}{4}S$. После платежа он составляет $\frac{5}{4}S-x$.$$D_1=\frac{5}{4}S-x$$

Обозначим через $B_t$ долг в июле года $t$, измеряемый в тысячах рублей. В июле 2025 года $B_{2025}=800$, а в июле 2030 года $B_{2030}=200$. За пять лет долг уменьшается равными величинами, поэтому ежегодное уменьшение равно$$a=\frac{800-200}{5}=120$$

Следовательно, долги в июле 2025–2030 годов равны$$800,\ 680,\ 560,\ 440,\ 320,\ 200$$

Пусть $D_k$ — долг на 15-е число $k$-го месяца после получения кредита, в тысячах рублей. Тогда $D_0=900$, а $D_{10}=200$.

За первые 10 месяцев долг уменьшается на одну и ту же величину:$$d=\frac{900-200}{10}=70$$

Обозначим размер каждого из четырёх равных платежей через $x$ рублей. К моменту первого платежа первоначальный долг увеличится на 20%, а затем каждый следующий остаток долга также увеличивается в $1{,}2$ раза.$$D_1=419375\cdot1{,}2-x$$

После четырёх ежегодных увеличений и четырёх платежей долг должен стать равным нулю.$$419375\cdot1{,}2^4-x(1+1{,}2+1{,}2^2+1{,}2^3)=0$$

В условии отсутствует само тригонометрическое уравнение.

В условии также не указаны границы отрезка, на котором требуется выбрать корни.

В распознанном условии отсутствует формула уравнения.

Также не указаны левая и правая границы отрезка, на котором требуется выбрать корни.

Так как косинус является чётной функцией, $\cos(-x)=\cos x$. Преобразуем уравнение:$$\cos 2x + \cos x = 0$$

Используем формулу двойного угла и обозначим $t=\cos x$:$$2\cos^2 x-1+\cos x=0;\quad 2t^2+t-1=0$$

Используем тождество для косинуса суммы:$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$$

Применяем формулу двойного угла $\cos 2x=1-2\sin^2x$:$$1-2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x-1=0$$

Представим первое слагаемое и выполним замену переменной: $27^x = 3^{3x} = (3^x)^3$. Обозначим $t = 3^x$, тогда $t > 0$.$$t^3 - 84t + \frac{243}{t} = 0$$

Умножим уравнение на $t$, поскольку $t > 0$.$$t^4 - 84t^2 + 243 = 0$$

Представим степени через число $3$ и введём замену $t=3^{\cos x}$. Тогда $81^{\cos x}=t^4$, $9^{\cos x}=t^2$.$$9t^4-28t^2+3=0$$

Обозначим $y=t^2$. Решаем квадратное уравнение относительно $y$.$$9y^2-28y+3=0$$

Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, преобразуем вторую степень:$$16^{\sin(x+\pi)}=16^{-\sin x}=\frac{1}{16^{\sin x}}$$

Введём замену $t=16^{\sin x}$. Поскольку $t>0$, уравнение принимает вид:$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}$$

Используем формулы для отрицательного аргумента и формулу двойного угла:$$\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1$$

Сгруппируем слагаемые и разложим выражение на множители:$$2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = (2\sin x+1)(\cos x-1)$$

Так как косинус является чётной функцией, заменим $\cos(-x)$ на $\cos x$, а $\sin^2x$ выразим через косинус:$$\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin^2x=1-\cos^2x$$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-4(1-\cos^2x)=\sqrt{3}-4$$

Раскроем скобки и преобразуем двойной угол:$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$\sin x+\sqrt3\cos x+2\cos^2x-1=3\cos x+1$$

Преобразуем косинус суммы и косинус двойного угла:$$\cos(x+\pi)=-\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2\cos^2x-1-\sqrt{2}\cos x+1=0$$

Применим формулы приведения и двойного угла:$$\sin(2\pi-x)=-\sin x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$

Подставим эти выражения в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть:$$2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0$$

Преобразуем синус отрицательного аргумента и косинус двойного угла:$$\cos 2x-3\sin(-x)-2=1-2\sin^2x+3\sin x-2=0$$

Получаем квадратное уравнение относительно $\sin x$:$$2\sin^2x-3\sin x+1=0$$

Используем тождество $\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$ и формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.$$2\sqrt{3}\cos^2x+2\sin x\cos x=0$$

Вынесем общий множитель:$$2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0$$

Преобразуем косинус двойного угла:$$\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x = 2\sin^2 x - 1$$

Подставим это выражение в исходное уравнение и учтём, что $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$:$$4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x$$