Решение: Кредит с двумя выплатами
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2580 тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $D_i$ долг в июле $2025+i$ года. Тогда $D_0=1300$, а $D_{10}=0$. Платёж за очередной год равен разнице между долгом после январского увеличения и долгом в июле:
$$P_i=1{,}2D_{i-1}-D_i$$Суммируя все платежи за десять лет, получаем:
$$\sum_{i=1}^{10}P_i=1{,}2D_0+0{,}2\sum_{i=1}^{9}D_i-D_{10}$$Пусть долг в июле 2030 года равен $D_5=x$. Первые пять уменьшений одинаковы, поэтому $D_0,D_1,\ldots,D_5$ — арифметическая прогрессия. Если её разность равна $-a$, то $x=1300-5a$, откуда $a=\frac{1300-x}{5}$.
$$D_1+D_2+D_3+D_4+D_5=6500-15a=2600+3x$$Во второй период долги $D_5,D_6,\ldots,D_{10}$ также образуют арифметическую прогрессию и заканчиваются нулём. Поэтому:
$$D_6=\frac45x,\quad D_7=\frac35x,\quad D_8=\frac25x,\quad D_9=\frac15x$$Следовательно, сумма промежуточных июльских долгов равна:
$$\sum_{i=1}^{9}D_i=(2600+3x)+\left(\frac45x+\frac35x+\frac25x+\frac15x\right)=2600+5x$$Подставим это в условие о сумме платежей:
$$2580=1{,}2\cdot1300+0{,}2(2600+5x)=1560+520+x$$Отсюда:
$$x=2580-2080=500$$500000 рублей
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать январское увеличение долга на 20 % при вычислении ежегодного платежа.
Считать долги арифметической прогрессией на всём десятиелетнем промежутке, хотя величины уменьшения меняются после июля 2030 года.
Забыть перевести 500 тыс. рублей в рубли.