В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 7$, $BC = 6$, $AA_1 = 5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.
- 1
Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $B_1$ является треугольной пирамидой с основанием $ABC$.
- 2
Основание $ABC$ — прямоугольный треугольник с катетами $AB = 7$ и $BC = 6$.$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 = 21$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 24.
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия, поэтому площадь отсечённого основания составляет четверть площади исходного основания.$$\frac{S_{\text{отсеч}}}{S_{\text{осн}}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 5.
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Площадь отсечённого треугольника, а значит и объём отсечённой призмы, составляет четверть площади основания и объёма исходной призмы.$$\frac{V_{\text{отр}}}{V} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
- 1
Пусть $r$ — радиус общего основания. Высота цилиндра и конуса равна $r$.$$h=r$$
- 2
Найдём образующую конуса по теореме Пифагора.$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.
- 1
Обозначим радиус шара и радиус основания конуса через $R$. Так как радиус основания равен радиусу шара, плоскость основания проходит через центр шара. Поэтому высота конуса равна $R$.$$h=R$$
- 2
Запишем объёмы конуса и шара.$$V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi R^3,\quad V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 30. Найдите площадь поверхности шара.
- 1
Так как шар вписан в цилиндр, радиус основания цилиндра равен радиусу шара $r$, а высота цилиндра равна диаметру шара: $h = 2r$.$$h = 2r$$
- 2
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:$$S_{\text{цил}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой…
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Поэтому его периметр в 2 раза меньше периметра исходного основания.$$P_{\text{нов}}=\frac{1}{2}P_{\text{исх}}$$
- 2
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра. Длина бокового ребра при отсечении не изменяется, поэтому площадь боковой поверхности также уменьшается в 2 раза.$$S_{\text{нов}}=\frac{1}{2}S_{\text{исх}}=\frac{24}{2}=12$$
Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём цилиндра равен 30. Найдите объём конуса.
- 1
При одинаковых основании и высоте объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра.$$V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3}V_{\text{ц}}$$
- 2
Подставим известный объём цилиндра:$$V_{\text{к}} = \dfrac{30}{3} = 10$$
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 9$, $BC = 3$, $BB_1 = 8$.
- 1
Многогранник является пирамидой с прямоугольным основанием $ABCD$ и вершиной $B_1$.
- 2
Найдём площадь основания:$$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 9 \cdot 3 = 27$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $BC = 9$, $CD = 3$, $CC_1 = 7$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$, $C_1$.
- 1
Многогранник является пирамидой с прямоугольным основанием $ABCD$ и вершиной $C_1$.$$V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}h$$
- 2
Площадь прямоугольного основания:$$S_{ABCD} = BC \cdot CD = 9 \cdot 3 = 27$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 54. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой…
- 1
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.$$S_{\text{бок}} = P h$$
- 2
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Поэтому его периметр в два раза меньше.$$P_1 = \frac{1}{2}P$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 5$, $BC = 4$, $AA_1 = 3$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$.
- 1
Основание многогранника совпадает с прямоугольником $ABCD$ и имеет площадь:$$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 5 \cdot 4 = 20$$
- 2
Сечения многогранника плоскостями, параллельными основанию, имеют форму прямоугольников. Их ширина линейно уменьшается от $4$ до $0$ при изменении высоты от $0$ до $3$, поэтому объём равен половине объёма прямоугольного параллелепипеда с…$$V = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot AA_1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 11 раз, а высота останется прежней?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Высота и остальные множители не изменяются, а радиус увеличивается в 11 раз. Поэтому объём изменится в квадрат этого числа раз:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{(11r)^2}{r^2} = 11^2 = 121$$
Дана правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $4$, а боковое ребро равно $6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $B$, $C$, $A_1$…
- 1
Объём исходной призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V_{\text{призмы}} = 4 \cdot 6 = 24$$
- 2
Из призмы мысленно удалим тетраэдр $ABCA_1$. Его основание $ABC$ имеет площадь $4$, а высота равна боковому ребру призмы, то есть $6$.$$V_{ABCA_1} = \dfrac{1}{3} \cdot 4 \cdot 6 = 8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $5\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
- 1
Поскольку высота цилиндра равна радиусу основания, площадь его боковой поверхности равна$$S_{\text{ц}}=2\pi r h=2\pi r^2$$
- 2
Образующая конуса находится по теореме Пифагора:$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 9$, $BC = 7$, $AA_1 = 6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.
- 1
Точки $A$, $B$, $C$, $B_1$ являются вершинами тетраэдра. Его основанием можно считать треугольник $ABB_1$ или использовать формулу для объёма прямоугольного параллелепипеда.$$V_{ABC B_1} = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot BC \cdot BB_1$$
- 2
Так как $BB_1 = AA_1 = 6$, подставим известные значения.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 = 63$$
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $18\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.
- 1
Обозначим радиус сферы и радиус основания конуса через $R$. Так как центр сферы находится в центре основания, радиус сферы равен радиусу основания. Вершина конуса также лежит на сфере, поэтому высота конуса равна $R$.$$h=R$$
- 2
В осевом сечении конуса образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $R$ и $h=R$.$$l^2=R^2+h^2=R^2+R^2=2R^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Шар, объём которого равен 24, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
- 1
Пусть радиус шара равен $r$. Так как шар вписан в цилиндр, радиус основания цилиндра равен $r$, а высота цилиндра равна диаметру шара: $h = 2r$.$$V_{\text{ш}} = \frac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Найдём объём цилиндра:$$V_{\text{ц}} = \pi r^2h = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой…
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Поэтому периметр основания отсечённой призмы вдвое меньше периметра основания исходной призмы.$$P_{\text{отсечённой}}=\frac{1}{2}P_{\text{исходной}}$$
- 2
Боковые рёбра призм равны, так как плоскость сечения параллельна боковому ребру. Значит, площади боковых поверхностей относятся так же, как периметры оснований.$$S_{\text{отсечённой}}=\frac{1}{2}S_{\text{исходной}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.
- 2
Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:$$\frac{S_\text{мал}}{S_\text{осн}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде