Решите неравенство $\log_3\left(\frac{1}{x}+2\right)-\log_3(x+5)\geq\log_3\left(\frac{x+4}{x^2}\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными:$$\frac{1}{x}+2>0,\quad x+5>0,\quad \frac{x+4}{x^2}>0$$
- 2
Из первого условия получаем $x<-\frac12$ или $x>0$. С учётом остальных условий область допустимых значений равна:$$x\in\left(-4,-\frac12\right)\cup(0,+\infty)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\left(\log_{0,25}^2(x+3)-\log_4(x^2+6x+9)+1\right)\cdot\log_4(x+2)\le 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Для существования логарифмов необходимо $x+3>0$ и $x+2>0$, поэтому $x>-2$.$$x>-2$$
- 2
Преобразуем первый множитель: $x^2+6x+9=(x+3)^2$, а $\log_{0,25}(x+3)=-\dfrac{1}{2}\log_4(x+3)$.$$\log_{0,25}^2(x+3)-\log_4((x+3)^2)+1=\frac14\log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство. В предоставленном изображении выражение не отображается.
- 1
На изображении после слов «Решите неравенство» отсутствует математическое выражение, поэтому условие задачи неполное.
- 2
Без выражения невозможно определить область допустимых значений, критические точки и множество решений.
Решите неравенство $\log_2^2(25-x^2)-7\log_2(25-x^2)+12\ge 0$.
- 1
Запишем область допустимых значений логарифма:$$25-x^2>0\quad\Longleftrightarrow\quad -5<x<5$$
- 2
Введём замену $t=\log_2(25-x^2)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:$$t^2-7t+12\ge 0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего…
- 1
После платежей долг на июль 2029 года составит $75\%$ от первоначального долга, то есть $0{,}75S$. Перед первым платежом долг увеличится до $1{,}25S$, поэтому первый платёж равен:$$P_1=1{,}25S-0{,}75S=0{,}5S$$
- 2
На июль 2030 года долг должен составить $0{,}75^2S=0{,}5625S$. Перед вторым платежом долг равен $1{,}25\cdot0{,}75S=0{,}9375S$.$$P_2=0{,}9375S-0{,}5625S=0{,}375S$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\log_5(3x+1)+\log_5\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\geq\log_5\left(\frac{1}{24x}+1\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Для первого логарифма требуется $3x+1>0$, то есть $x>-\frac{1}{3}$. Второй логарифм определён при $x\neq0$, поскольку его аргумент содержит $x^2$. Для третьего логарифма требуется $\frac{1}{24x}+1>0$.$$x>-\frac13,\quad x\ne0,\quad \frac{24x+1}{24x}>0$$
- 2
Решая последнее условие и учитывая остальные ограничения, получаем область допустимых значений.$$D=\left(-\frac13,-\frac1{24}\right)\cup(0,+\infty)$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{13}{3^x-81}\leq\dfrac{1}{3^x-9}$.
- 1
Введём замену $t=3^x$. Так как $3^x>0$, имеем $t>0$. Знаменатели исходного неравенства не должны обращаться в нуль, поэтому $t\neq9$ и $t\neq81$.$$t=3^x>0,\quad t\ne9,\quad t\ne81$$
- 2
Перенесём правую часть в левую и приведём дроби к общему знаменателю.$$\frac{13}{t-81}-\frac{1}{t-9}\leq0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $$\frac{\log_5(25x)}{\log_5 x-2}+\frac{\log_5 x-2}{\log_5(25x)}\ge\frac{6-\log_5(x^4)}{(\log_5 x)^2-4}.$$
- 1
Область допустимых значений определяется условиями $x>0$, $\log_5 x-2\ne0$ и $\log_5(25x)\ne0$. Поэтому $x>0$, $x\ne25$, $x\ne\frac1{25}$.
- 2
Введём замену $t=\log_5 x$. Тогда $\log_5(25x)=\log_5 25+\log_5 x=t+2$, а $\log_5(x^4)=4t$. Условие принимает вид$$\frac{t+2}{t-2}+\frac{t-2}{t+2}\ge\frac{6-4t}{t^2-4},\quad t\ne\pm2$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\log_{16}(x+5)+\log_{x^2+10x+25}2\ge\dfrac{3}{4}$.
- 1
Запишем область допустимых значений. Необходимо $x+5>0$, а основание второго логарифма должно быть положительным и не равняться единице. Так как $x^2+10x+25=(x+5)^2$, получаем $x>-5$ и $x\ne-4$.$$x+5>0,\quad (x+5)^2\ne1$$
- 2
Выполним замену $t=\log_2(x+5)$. Тогда $t\ne0$, поскольку $x\ne-4$.$$x+5=2^t,\quad t\ne0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\log_3^2(25-x^2)-3\log_3(25-x^2)+2\ge 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений: подлогарифмическое выражение должно быть положительным.$$25-x^2>0\quad\Longrightarrow\quad -5<x<5$$
- 2
Введём замену $t=\log_3(25-x^2)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:$$t^2-3t+2\ge 0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $11^x - 6 - \dfrac{24\cdot 11^x - 244}{121^x - 16\cdot 11^x + 60} \le \dfrac{1}{11^x - 10}$.
- 1
Сделаем замену $t=11^x$. Тогда $t>0$, $121^x=t^2$, а знаменатель дроби раскладывается:$$t^2-16t+60=(t-6)(t-10)$$
- 2
Область допустимых значений определяется условиями $t\ne 6$ и $t\ne 10$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\log_{11}(2x^2+1)+\log_{11}\left(\frac{1}{32x}+1\right)\geq\log_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right)$.
- 1
Определим область допустимых значений. Первый аргумент логарифма положителен при всех $x$, поскольку $2x^2+1>0$. Для второго аргумента требуется$$1+\frac{1}{32x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{32x+1}{32x}>0$$
- 2
Решая полученное неравенство и учитывая условие для третьего аргумента, получаем$$x>0\ \text{или}\ x<-\frac{1}{32};\qquad \frac{x}{16}+1>0\Longleftrightarrow x>-16$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $1+\dfrac{6}{\log_3 x-3}+\dfrac{5}{\log_3^2 x-\log_3(27x^6)+12}\ge 0$.
- 1
По определению логарифма необходимо, чтобы $x>0$. Дополнительно знаменатели исходного выражения не должны обращаться в ноль: $\log_3 x-3\ne 0$.$$x>0,\quad \log_3 x\ne 3$$
- 2
Введём замену $t=\log_3 x$. Тогда $\log_3(27x^6)=\log_3 27+\log_3 x^6=3+6t$.$$\log_3^2 x-\log_3(27x^6)+12=t^2-(3+6t)+12=(t-3)^2$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 12 млн рублей. Каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого…
- 1
Обозначим через $q$ коэффициент увеличения долга в январе:$$q=1+\frac{r}{100}$$
- 2
Изначальный долг составляет $12\,000$ тыс. рублей. К июлю 2029 года он должен стать на 10\% меньше, то есть равняться $10\,800$ тыс. рублей. Поэтому первый платёж равен долгу после январского увеличения минус долг, оставшийся к июлю:$$P_1=12\,000q-10\,800$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $2\log_2\left(x\sqrt{5}\right)-\log_2\left(\frac{x}{1-x}\right)\leq\log_2\left(5x^2+\frac{1}{x}-2\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Из условия существования первых двух логарифмов получаем $x>0$ и $\frac{x}{1-x}>0$, откуда $0<x<1$. На этом промежутке третий аргумент также положителен.$$0<x<1$$
- 2
Объединим логарифмы в левой части:$$2\log_2(x\sqrt{5})-\log_2\left(\frac{x}{1-x}\right)=\log_2\left(\frac{(x\sqrt{5})^2}{x/(1-x)}\right)=\log_2\bigl(5x(1-x)\bigr)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $$\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}-9\cdot2^{x+4}+4}\le 2^{x+1}-\frac{1}{2^{x-2}}+\frac{3}{2^{x+1}-1}.$$
- 1
Положим $t=2^x$. Тогда $t>0$, $8^{x+\frac23}=4t^3$, $4^{x+\frac12}=2t^2$, а $2^{x+4}=16t$.$$t=2^x>0$$
- 2
Ограничения на переменную возникают из знаменателей:$$2t-1\ne0,\qquad 2t^2-144t+4\ne0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\log_{4}\bigl((x-5)(x^2-2x-15)\bigr)+1\ge 0{,}5\log_{2}(x-5)^2$.
- 1
Определим область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным, а аргумент второго логарифма — ненулевым:$$(x-5)(x^2-2x-15)>0,\quad (x-5)^2>0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Решите неравенство.
- 1
В предоставленном тексте и на изображении указано только требование решить неравенство, но само неравенство отсутствует.
- 2
Без выражения неравенства невозможно определить область допустимых значений, преобразования и множество решений.
Решите неравенство $1+\dfrac{10}{\log_2 x-5}+\dfrac{16}{\log_2^2 x-\log_2(32x^{10})+30}\ge 0$.
- 1
Область определения исходного выражения задаётся условиями $x>0$ и $\log_2 x-5\ne 0$, то есть $x>0$ и $\log_2 x\ne 5$.$$x>0,\quad \log_2x\ne 5$$
- 2
Введём замену $t=\log_2x$. Тогда $\log_2(32x^{10})=\log_2 32+10\log_2x=5+10t$.$$\log_2(32x^{10})=5+10t$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $3^{\log_3(\log_3 x)}+(\log_9 x)^2-8\le 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Для существования выражения $\log_3(\log_3 x)$ необходимо, чтобы $\log_3 x>0$, откуда $x>1$.$$x>1$$
- 2
Введём замену $t=\log_3 x$. Тогда $t>0$, а первый член неравенства упрощается:$$3^{\log_3(\log_3 x)}=3^{\log_3 t}=t$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде