Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 17, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h=a\sin\alpha$$
2. 2
   Находим сторону ромба:$$a=\dfrac{h}{\sin 30^\circ}=\dfrac{17}{1/2}=34$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 169^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $AB \parallel CD$, угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ равен дополнительному к углу $\angle ACD$:$$\angle CAB = 180^\circ - 169^\circ = 11^\circ$$
2. 2
   Обозначим длину стороны $AB$ через $a$. Тогда $AC = 2a$. Направление второй диагонали $BD$ задаётся вектором $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 53$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ являются противоположными. Поэтому центральный угол $AOC$ равен$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна$$AC = 2R\sin\frac{60^\circ}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагоналям

В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам и равны $40$ и $42$. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половины диагоналей равны $20$ и $21$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $6$, а $\tg A = 0{,}3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём половину основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{6}{0{,}3}=20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Синус угла в окружности

На окружности радиуса 20 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 14$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2R = 2 \cdot 20 = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла ромба

В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 15$, $BD = 24$. Найдите синус угла $ABD$.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому половина диагонали $BD$ равна:$$BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ гипотенуза $AB=15$, а катет $BO=12$. Найдём второй катет:$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 4$, $BC = 2$, а её площадь равна $69$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Пусть $h$ — высота трапеции. Найдём её из формулы площади трапеции:$$69 = \dfrac{4 + 2}{2} \cdot h = 3h$$
2. 2
   Следовательно, высота трапеции равна:$$h = 23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 10$, $AC = BD = 26$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   В параллелограмме равные диагонали, поэтому он является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдём вторую сторону:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона ромба по диагонали

Одна из диагоналей ромба равна 12, а его площадь равна 96. Найдите сторону ромба.

1. 1
   Найдём вторую диагональ ромба по формуле площади:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 96}{12} = 16$$
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $6$ и $8$ и являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба.$$a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$$

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 25 и 39, боковая сторона равна 25. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна 14. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми прямоугольными треугольниками.$$\frac{39-25}{2}=7$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора, используя боковую сторону как гипотенузу.$$h=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $113^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $B$ являются смежными, поэтому внутренний угол $B$ равен:$$B = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, поэтому углы при основании равны:$$A = B = 67^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 57$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = AD = 57$.
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет напротив угла 30°

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 42$. Найдите длину катета $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ является смежным с внешним углом.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$$

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 127^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Пусть $AB = CD = 1$. Тогда $AC = 2$. В треугольнике $ACD$ по теореме косинусов:$$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos 127^\circ = 5 - 4\cos 127^\circ$$
2. 2
   Обозначим векторы $\overrightarrow{AB}=\vec b$ и $\overrightarrow{AD}=\vec d$. Тогда диагонали имеют направления $\vec b+\vec d$ и $\vec d-\vec b$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 34$, $\sin A = \dfrac{8}{17}$. Найдите длину стороны $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 34 \cdot \dfrac{8}{17} = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 32 и 24. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $16$ и $12$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 80, площадь треугольника равна 360. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Проведём высоту из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам.$$AC_1 = \dfrac{AC}{2} = 40$$
2. 2
   Найдём высоту треугольника по формуле площади.$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 360}{80} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 35$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Радиусы окружности равны: $OA = OC$. В треугольнике $AOC$ углы при основании также равны, поэтому при угле $60^\circ$ все углы треугольника равны $60^\circ$. Треугольник равносторонний.$$OA = AC = 35$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике одна из сторон равна 21, а диагональ равна 29. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник.$$d^2 = a^2 + b^2$$
2. 2
   Найдём вторую сторону прямоугольника:$$b = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении