Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 24, площадь треугольника равна 60. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Найдём высоту треугольника, проведённую к основанию:$$h = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \cdot 60}{24} = 5$$
2. 2
   Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам, поэтому половина основания равна:$$\frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $6$. Площадь треугольника $ABC$ равна $12\sqrt{7}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, медиана $BM$ к основанию $AC$ является также высотой и делит основание пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   По формуле площади найдём длину основания:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BM,\quad AC = \dfrac{2S}{BM} = \dfrac{2 \cdot 12\sqrt{7}}{6} = 4\sqrt{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 51$, $\sin A = \dfrac{15}{17}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB$ — боковая сторона, то $AB = BC = 51$, а углы при основании равны.
2. 2
   Найдём косинус угла $A$:$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{15}{17}\right)^2} = \dfrac{8}{17}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $154^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 154^\circ = 26^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 26^\circ$.$$\angle A = \angle B$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 168, а одна из сторон равна 24. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём вторую сторону прямоугольника, разделив площадь на известную сторону.$$b = \dfrac{168}{24} = 7$$
2. 2
   По теореме Пифагора диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$d = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$$

Угол на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 67^\circ$. Найдите угол $CMA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому угол $CMB$ в два раза больше угла $DMC$.$$\angle CMB = 2\angle DMC = 2 \cdot 67^\circ = 134^\circ$$
2. 2
   Луч $MA$ является продолжением луча $MB$, поэтому углы $CMA$ и $CMB$ — смежные и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMA = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 5^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 2. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Большей дуге соответствует центральный угол $360^\circ - 5^\circ = 355^\circ$.$$360^\circ - 5^\circ = 355^\circ$$
2. 2
   Длины дуг пропорциональны их центральным углам, поэтому длина большей дуги равна:$$2 \cdot \frac{355}{5} = 2 \cdot 71 = 142$$

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 13$, $\sin A = \dfrac{12}{13}$. Найдите длину стороны $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса угла $A$:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 13 \cdot \dfrac{12}{13} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 24$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Найдём угол $A$ треугольника.$$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $4$, а $\tg A = 0{,}5$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AM = MC$ и $AC = 2AM$.$$AC = 2AM$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ найдём длину половины основания по тангенсу угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM},\quad AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{4}{0{,}5} = 8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{12}{13}$. Гипотенуза $AB = 26$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, гипотенуза — сторона $AB$, а прилежащий к углу $B$ катет — сторона $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 26 \cdot \dfrac{12}{13} = 24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 29$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим катетом, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма по диагоналям

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 14$, $AC = BD = 50$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   Диагонали параллелограмма равны, значит этот параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдём вторую сторону.$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2304} = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по боковой стороне

Основания трапеции равны 7 и 15, боковая сторона, равная 12, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции равна произведению боковой стороны на синус угла между ней и основанием:$$h = 12\sin 150^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$
2. 2
   Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту:$$S = \frac{7+15}{2} \cdot 6 = 66$$

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 28$. Найдите длину катета $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ — противолежащий углу $A$, а $AB$ — гипотенуза. Применяем определение синуса.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного девятиугольника

$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $EAI$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В правильном девятиугольнике центральный угол, соответствующий одной стороне, равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
2. 2
   Дуга $EI$, не содержащая вершину $A$, проходит через вершины $F$, $G$, $H$ и состоит из четырёх равных дуг.$$4\cdot 40^\circ=160^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного восьмиугольника

$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $CBH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол правильного восьмиугольника равен:$$\alpha=\frac{(8-2)\cdot180^\circ}{8}=135^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $ABH$ стороны $AB$ и $AH$ равны, поэтому он равнобедренный. Его угол при вершине $A$ равен внутреннему углу восьмиугольника:$$\angle BAH=135^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 50$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому углы $AOC$ и $COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Отрезки $OA$ и $OC$ — радиусы окружности, поэтому треугольник $AOC$ равнобедренный. При угле $AOC = 60^\circ$ он является равносторонним.$$OA = AC = 50$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 33. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, так как $BK$ — высота. Используем косинус угла $60^\circ$.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $36$, $\tg \angle CAD = \dfrac{5}{12}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 36$.$$AD = 36$$
2. 2
   Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{5}{12}$$

Ещё 2 шага — в полном решении