Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $52$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   Найдём длину стороны ромба по его периметру:$$a = \dfrac{52}{4} = 13$$
2. 2
   Два угла, сумма которых равна $120^\circ$, являются равными острыми углами ромба. Каждый из них равен $60^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными.$$B = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AC = BC$, углы при основании равнобедренного треугольника равны: $A = B = 73^\circ$.$$A = B$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в правильном десятиугольнике

$ABC...J$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $IBJ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В правильном десятиугольнике дуга между соседними вершинами $I$ и $J$ соответствует одному из десяти равных центральных углов.$$\alpha=\dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
2. 2
   Угол $IBJ$ является вписанным и опирается на дугу $IJ$, поэтому он равен половине соответствующего центрального угла.$$\angle IBJ=\dfrac{36^\circ}{2}=18^\circ$$

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 63$. Найдите $BD$.

1. 1
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
2. 2
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Для ромба диагональ $BD$ выражается через сторону $AB$ и угол $A$ формулой:$$BD = 2AB\sin\frac{\angle A}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 96 и 28. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Так как диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, этот параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Половины диагоналей ромба равны $96:2=48$ и $28:2=14$. Они образуют срезанный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является стороной ромба.$$a=\sqrt{48^2+14^2}=\sqrt{2304+196}=\sqrt{2500}=50$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 45$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Обозначим $AH=x$. Так как $AC=45$, получаем $HC=45-x$.
2. 2
   Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой $AC$. Поэтому $AM=MC=22{,}5$, а расстояние от $M$ до $H$ равно $|22{,}5-x|$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $77^\circ$, угол $CAD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга $AD$, на которую опирается угол $ABD$, равна удвоенному углу $ABD$.$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot77^\circ=154^\circ$$
2. 2
   Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, равна удвоенному углу $CAD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot43^\circ=86^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между биссектрисой и лучом

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 92^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$$
2. 2
   Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому делит его на два равных угла.$$\angle DMB = \dfrac{88^\circ}{2} = 44^\circ$$

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 16, $\tg \angle CAD = 0{,}8$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $CAD$ для угла $CAD$ противолежащий катет равен $AB$, а прилежащий катет равен $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{AB}{AD}$$
2. 2
   Найдём сторону $AD$.$$0{,}8 = \frac{16}{AD},\quad AD = \frac{16}{0{,}8} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\frac{1}{12}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\frac{1}{12}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{1}{12} = 30^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$$

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 40^\circ$.$$\angle A = \angle B = 40^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна 60, $\tg \angle CAD = \dfrac{7}{15}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 60$.
2. 2
   В треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{7}{15}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Углы при параллельных прямых

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 66^\circ$, $\angle 2 = 88^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из-за параллельности прямых $m$ и $n$ угол при левом основании образовавшегося треугольника равен углу $1$ как накрест лежащий угол.$$\alpha = \angle 1 = 66^\circ$$
2. 2
   Угол при правом основании треугольника равен углу $2$ и составляет $88^\circ$.$$\beta = \angle 2 = 88^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 660, а одна из сторон равна 11. Найдите диагональ этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём вторую сторону прямоугольника:$$b = \frac{660}{11} = 60$$
2. 2
   Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами $11$ и $60$.$$d = \sqrt{11^2 + 60^2} = \sqrt{121 + 3600} = \sqrt{3721} = 61$$

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 12$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, поэтому углы $AOC$ и $COB$ являются смежными.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $AOC$ стороны $AO$ и $OC$ равны как радиусы, поэтому он равнобедренный. При угле $AOC = 60^\circ$ его углы при основании также равны $60^\circ$, следовательно, треугольник равносторонний.$$AO = AC = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $62^\circ$, угол $ABC$ равен $47^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $BAC$ равен$$\angle BAC=180^\circ-47^\circ-x=133^\circ-x$$
2. 2
   Поскольку $AL$ — биссектриса угла $A$, угол $LAC$ равен половине угла $BAC$.$$\angle LAC=\frac{133^\circ-x}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $79^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку $CA$ и $CB$ являются касательными к окружности.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $ACOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 79^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона ромба по диагонали

Одна из диагоналей ромба равна 10, а его площадь равна 120. Найдите сторону ромба.

1. 1
   Используем формулу площади ромба и найдём вторую диагональ.$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 120}{10} = 24$$
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $5$ и $12$.$$a = \sqrt{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 30$, $\tg A = \frac{4}{3}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Поэтому отрезок от вершины $A$ до основания высоты равен $15$.$$AC_1 = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом $A$. По определению тангенса найдём высоту треугольника.$$\tg A = \frac{h}{15} = \frac{4}{3}, \quad h = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба равна 50, одна из его диагоналей равна 28. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина известной диагонали равна $28:2=14$.
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину второй диагонали:$$x=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2500-196}=\sqrt{2304}=48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении