Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Косинус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 14$, $AC = 7\sqrt{3}$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 14^2 - (7\sqrt{3})^2 = 196 - 147 = 49$$
2. 2
   Следовательно, $BC = 7$. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, а гипотенуза — $AB$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{7}{14} = 0.5$$

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба равна 26, одна из его диагоналей равна 20. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половина известной диагонали равна $20 : 2 = 10$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной стороне ромба, найдём половину второй диагонали:$$x = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = 24$$
2. 2
   Вторая диагональ равна $2 \cdot 24 = 48$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 32$, площадь ромба равна 384. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Найдём длину диагонали $BD$ по формуле площади ромба:$$384 = \dfrac{32 \cdot BD}{2}$$
2. 2
   Отсюда длина второй диагонали равна:$$BD = 24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 9, а острый угол ромба равен $30^\circ$.

1. 1
   Выразим сторону ромба через высоту и острый угол:$$h=a\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$9=a\sin30^\circ=\frac{a}{2},\quad a=18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 6 и 18, боковая сторона, равная 5, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 5\sin 150^\circ = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2{,}5$$
2. 2
   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \frac{6+18}{2} \cdot 2{,}5 = 12 \cdot 2{,}5 = 30$$

Тангенс угла трапеции

В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 2, а другое — 7. Высота трапеции равна 5. Найдите тангенс острого угла трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется между двумя боковыми прямоугольными треугольниками.$$x=\dfrac{7-2}{2}=2{,}5$$
2. 2
   В получившемся прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению высоты к горизонтальному катету.$$\tan\alpha=\dfrac{5}{2{,}5}=2$$

Высота экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 52 см, а ширина экрана — 48 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Высота, ширина и диагональ экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$h^2 + 48^2 = 52^2$$
2. 2
   Найдём квадрат высоты:$$h^2 = 52^2 - 48^2 = 2704 - 2304 = 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $90^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA$ перпендикулярен одной стороне угла, а $OB$ — другой.$$OA \perp CA,\quad OB \perp CB$$
2. 2
   Так как стороны угла $ACB$ перпендикулярны друг другу, то и радиусы $OA$ и $OB$ образуют прямой угол.$$\angle AOB = 90^\circ$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $46$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 12$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 80^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $2$. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшая дуга соответствует центральному углу $80^\circ$, поэтому её длина составляет $\dfrac{80}{360}$ длины всей окружности.$$\frac{2}{L} = \frac{80}{360}$$
2. 2
   Найдём длину всей окружности.$$L = 2 \cdot \frac{360}{80} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол выпуклого четырёхугольника

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 56^\circ$, $\angle D = 176^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$
2. 2
   Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник является дельтоидом, поэтому противоположные углы $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Радиус окружности по хордам

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 5$, $BC = 12$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус окружности по хорде

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$, $BC = 40$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{1681} = 41$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $44$, $\tg\angle CAD=\dfrac{5}{8}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   По условию одна сторона прямоугольника равна $44$, а другая находится из отношения, заданного тангенсом угла.$$AD=44\cdot\dfrac{5}{8}=27{,}5$$
2. 2
   Вычислим площадь прямоугольника как произведение его сторон.$$S=BC\cdot AD=44\cdot27{,}5=1210$$

Ширина телевизионного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 52 см, а высота экрана — 20 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ экрана является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота и ширина — его катетами.$$d^2 = h^2 + w^2$$
2. 2
   Выразим ширину экрана по теореме Пифагора:$$w = \sqrt{d^2 - h^2} = \sqrt{52^2 - 20^2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 64^\circ$ и $\angle BDC = 19^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как боковые стороны трапеции равны, $AB = CD$, трапеция $ABCD$ равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle ADC$.
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle ADC = 64^\circ + 19^\circ = 83^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 8, отрезок, соединяющий середину гипотенузы и середину этого катета, равен 3. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.

1. 1
   Отрезок, соединяющий середины гипотенузы и данного катета, является средней линией треугольника. Он равен половине второго катета.$$b = 2 \cdot 3 = 6$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 11 и 21, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны. Поэтому$$h = 10\sin 150^\circ = 10\cdot\frac{1}{2}=5$$
2. 2
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:$$S=\frac{11+21}{2}\cdot 5=16\cdot 5=80$$

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 17^\circ$, $\angle D = 101^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. Они равны по трём сторонам: $AB = BC$, $AD = CD$, сторона $BD$ общая.$$各$$
2. 2
   Из равенства треугольников следует, что диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам.$$\angle ABD = \frac{17^\circ}{2} = 8{,}5^\circ,\quad \angle BDA = \frac{101^\circ}{2} = 50{,}5^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении